Lab 9 introduksjon til tidsrekke-regresjon
Johannes Mauritzen
Høsten 2019
Makroøkonomi handler ofte om endringer over tid. Vi har lyst å vite hvorfor BNP, arbeidsledighet, inflasjon, osv, faller eller øker over tid. Vi er intressert i hvordan faktorer som pengepolitikk, finanspolitikk og økonomiens struktur påvirker disse variablene på kort-, medium- og langsikt. Da er vi avhengig av en spesialisert form av regresjonsanalyse som tar tid og dynamikk i betrakning. For å være enda mer spesifikk - vi må ta i betrakning at våre variabler er organisert i en tidsrekke, og at dette kan spille en stor rolle i hvordan vi kjører og tolker regresjoner.
Resten av semesteret skal vi bruke labbene til å lære noen grunnleggende begrep og teknikk innenfor tidsrekkeøkonometri.
Følgende introduksjon gir en liten gjennomgang av noen viktige ideer og begrep, som vi i noen tilfeller kommer til å bruke mer tid på senere. Presentasjonen er delvis basert på Modern Econometrics av Wooldridge.
Distribuerte lag modeller
Når vi har en y-variabel som er modellert på en x-variabel og lagget x-variabler, så kaller vi det for en distribuerte lag modell. Det kan skrives:
\(y_t = \alpha + \delta_0 x_t + \delta_1 x_{t-1} + \delta_2 x_{t-2} + u\)
La oss si at vi vil analysere en midlertidig effekt: en “sjokk” som deretter avtar i effekt. Vi kan tenke på, for eksempel, at en hopp i oljeprisen påvirker inflasjon over tid.
- Vi sier at sjokke treffer på tid \(t\). I tidsperioden før t, så er x variablen konstant, \(x=c\).
Vi begynner med perioden før sjokket treffer:
\(y_{t-1} = \alpha_0 + \delta_0 c + \delta_1 c + \delta_2 c\)
I periode t får vi:
\(y_t = \alpha_0 + \delta_0 (c+1) + \delta_1 c + \delta_2 c\)
og så videre:
\(y_{t+1} = \alpha_0 + \delta_0 c + \delta_1 (c+1) + \delta_2 c\)
\(y_{t+2} = \alpha_{0} + \delta_{0} c + \delta_{1} c + \delta_{2} (c+1)\)
\(y_{t+3} = \alpha_0 + \delta_0 c + \delta_1 c + \delta_2 c\)
Vi kan da se hva effekten av sjokken er over tid, det blir kalt “Impact Propensity”
| tid | impact propensity |
|---|---|
| t | \(y_t-y_{t-1} = \delta_0\) |
| t+1 | \(y_{t+1}-y_{t-1} = \delta_1\) |
| t+2 | \(y_{t+2} - y_{t-1} = \delta_2\) |
| t+3 | \(y_{t+3} - y_{t-1} = 0\) |
Hva om det er en permanent effekt?
Igjen, i periode t får vi:
\(y_t = \alpha_0 + \delta_0 (c+1) + \delta_1 c + \delta_2 c\)
og så videre:
\(y_{t+1} = \alpha_0 + \delta_0 (c+1) + \delta_1 (c+1) + \delta_2 c\)
\(y_{t+2} = \alpha_0 + \delta_0 (c+1) + \delta_1 (c+1) + \delta_2 (c+1)\)
\(y_{t+3} = \alpha_0 + \delta_0 (c+1) + \delta_1 (c+1) + \delta_2 (c+1)\)
Da snakker vi om “Long run propensity”: permanent effekt.
| tid | long-run propensity |
|---|---|
| t | \(y_t-y_{t-1} = \delta_0\) |
| t+1 | \(y_{t+1}-y_{t-1} = \delta_0 + \delta_1\) |
| t+2 | \(y_{t+2} - y_{t-1} = \delta_0 + \delta_1 + \delta_2\) |
| t+3 | \(y_{t+3} - y_{t-1} = \delta_0 + \delta_1 + \delta_2\) |
Seriekorrelasjon
Hvis vi vil ha korrekt standard feil i våre regresjoner, så kan vi ikke ha seriekorrelasjon (eller autokorrelasjon) i våre feilledd.
Seriekorrelasjon defineres som:
\(corr(u_t, u_s | X)\)
der \(t\neq s\)
Det vil si, at det ikke er noe korrelasjon over tid i feilleddene. Intuitivt, hvis vi ser på residualene av en regresjon, så burde de se tilfeldig ut. Det burde ikke være noe korrelasjon.
Log transformasjon
I økonometri vil man ofte se at man log-transformerer data. * Man bruker log-transformasjon til å gjøre data mer linear * Hvis man tranformerer begge sidene av regresjonen, så kan man tolke resultatene som elastitet
Si at jeg vil kjøre en regresjon av BNP på pengeetterspørsel, M. Jeg log-transformerer min regresjon:
\(log(M_t) = \alpha_0 + \delta_0 * log(GDP_t) + \delta_1*log(GDP_{t-1}) + \delta_2*log(GDP_{t-2})\)
\(\delta_0\) tolkes som “kort-siktig elasitet”: \(\delta_0 = \frac{\% \Delta M}{\% \Delta GDP_t}\)
Lang-siktig elasitet kan tolkes som: \(\delta_0 + \delta_1 + \delta_2\)
- Husk: for å gjøre en log transformasjon, må alle verdiene være > 0.
Dummy-variabler i tidsrekke regresjon.
Vi kan inkludere dummy-variabler i vår tidsrekke regresjon. For eksempel, la oss si at vi vil prøve å estimere effekten av regjering på BNP. Kanskje vi kjører følgende regresjon:
\(log(BNP_t) = \beta X + \delta D_t + u_t\)
der \(D_t = [0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0]\)
Trender
Ofte vil vi modellere en tidstrend i våre regresjoner.
For en linear trend, kan vi skrive det som:
\(y_t = \alpha + \beta*t + u_t\)
u_t = rnorm(100,0,1) #100 tilfeldig trekk fra standard normal fordeling
alpha = 2.5
beta = .3
t=seq(1:100)
y = alpha + beta*t+u_t
plot(t,y, type="line")## Warning in plot.xy(xy, type, ...): plot type 'line' will be truncated to first
## character
Hvis vi modellerer log(y_t), så blir den en eksponensiel trend:
\(log(y_t) = \alpha + \beta t 0 + u_t\)
alpha = 2.5
beta = .03
y= exp(alpha + beta*t) + u_t
plot(t, y, type="line")## Warning in plot.xy(xy, type, ...): plot type 'line' will be truncated to first
## character