Sparing, nasjonalformue og finanspolitikk
Livsløpssparing og finanspolitikk
I Keynesianske modeller, så er konsum en funksjon av disponibel inntekt.
Empirisk spørsmål: Hvorfor er konsum smooth (glatt) mens investering er lumpy (humpete)
En bedre modell av konsum er at det er basert på en ønske å spre konsum over livstiden. Konsum er ikke basert på dagens disponibel inntekt, men forventninger om inntekt gjennom hele livet.
Dette har implikasjoner for våre keynesianske modeller, som modellerer multiplikatøren som en funksjon av koblingen mellom konsum og disponibel inntekt.
Det har også mye å si om hvordan vi tror finanspolitikk og endringer i skatt og avgifter kommer til å påvirke aggregert etterspørsel og konsum.
Livsløpssparing
Noen antakelser:
\(r=0\) (etter skatt)
Ingen usikkerhet om fremtiden.
Individet har preferanser for å utjevne konsum gjennom livsløpet.
Starter år 1
Regner med å leve i H år
Størrelser måles i volumenheter
Konsumstrøm: \(C_1, C_2,...,C_H\)
Lønnsinntekt: \(w_t L_t\)
Nettoskatt: \(N T_t\)
Nettoformue i år 1: \(A_1\) (kan være neg. For eks. studielån)
Disponibel realinntekt: \(w_t L_t - NT_t\)
Får pensjon fra staten i årene \(\Pi+1, \Pi+2,....,H\)
Hva er definisjonen av sparing i periode t?
\(S_t= w_t L_t -N T_t - C_t = A_{t+1} - A_t\)
Vi skal også si at i år \(a<\Pi\), så får man et arv, \(Y^{arv}_a\)
\(S_a = w_a L_a -N T_a -C_a + Y_a^{arv} = A_{a+1}-A_a\)
Sparing kan være negativ i noen år.
Summer alt sparing utover livsløpet:
\(\sum_{t=1}^{H} S_t = \sum_{t=1}^{H} w_tL_t - \sum_{t=1}^{H}NT_t + Y^{arv}_a-\sum_{t=1}^{H}C_t\)
Og vi kan skrive
\(\sum_{t=1}^{H}S_t = (A_2-A_1) + (A_3-A_2) + (A_4-A_3)+...+(A_{H+1}-A_H)=A_{H+1}-A_1\)
Setter vi de to \(\sum_{t=1}^{H}S_t\) ligningene sammen, så får vi
\(\sum_{t=1}^{H} w_tL_t - \sum_{t=1}^{H}NT_t + Y^{arv}_a-\sum_{t=1}^{H}C_t = A_{H+1}-A_1\)
\(\sum_{t=1}^{H}C_t = \sum_{t=1}^{H} w_tL_t - \sum_{t=1}^{H}N_t+A_1 +Y_a^{arv}-A_{H+1}\equiv R^{liv}_1\)
Summen av konsum er begrenset av inntektene og skatt gjennom livsløpet
Det er det vi definerer som \(R^{liv}_1\).
Konsumutjevning
Vi bruker en antakelse at vi har en preferanse for konsum-utjevning (smoothing)
Modellerer preferanser med en nyttefunksjon (utility function) (\(U(C_t)\))
Marginalnytten er den deriverte av nyttefunksjonen (\(U'(C_t)\)).
For å modellere en avtagende funksjon, må andrederiverte av nyttefunksjonen være negativ.
Marginalnytten øker mindre med høyere C, \(U''(C_t)<0\)
Påstand: bøyd nyttefunksjon (\(U''(C_t)<0\)) indikerer en preferanse for konsum-smoothing.
Ta to konsum-nivåer, \(C_1\) og \(C_2\) der
\(C_1 < C_2\)
Ville vi fått mer nytte ut av å omfordele konsumet, så at vi har \(\bar{C}\) i begge periodene?
Ja
\(U(\bar{C})>\bar{U(C)}\)
La oss se på total nytte gjennom alle periodene:
\(U=\sum_{t=1}^{H}{U(C_t)}\)
Summen blir størst når alle C er det samme. Det skjer når marginalnytteverdiene er det samme:
\(u’(C_1) =u’(C_2)=...=u’(C_H)\)
Og det skjer når:
\(C_1 = C_2 =...=C_H\)
Det konstante konsumet over livet, \(\bar{C}\) livsløpet konsumet.
Definerer det som:
\(\bar{C} = \frac{1}{H}R_1^{liv} = \frac{1}{H}[\sum_{t=1}^{H} w_tL_t - \sum_{t=1}^{H}NT_t + A_1 + Y_a^{arv}-A_{H+1}]\)
Virkninger av økte skattefinansiert pensjoner fra staten
La oss si at staten øker skattene (\(\Delta T\)) frem til og med år \(\Pi\) (pensjonsalder)
Skattene blir brukt til å øke pensjon (\(\Delta P\)) fra og med år \(\Pi+1\).
Skatteøkningen og pensjons-økningen skal være like
\((H-\Pi)\Delta P = \Pi \Delta T\)
\(\Delta P = \frac{\Pi}{H-\Pi}\Delta T\)
Tall eksempel:
Et liv, H=50, der man skal jobbe \(\Pi = 40\) år og pensjon i 10 år. Så hvis vi øker skatt med 2.000 per inntekts år, hvor mye får vi i økt pensjon per år?
\(\Delta P = \frac{40}{50-40} 2.000 = 8.000\)
Spørsmål? Vil denne økningen i skatter og pensjoner endre konsumet?
Ifølge modellen, nei! Den endrer ikke livsløpsresurssene. Man vil velge å utjevne (smooth) konsumet over livsløpet.
Problemer med modellen i virkelighet?
Antakeligvis, ja.
- Menneskelig atferd, psykologi
- Og at vi er begrenset hvor mye vi kan flytte konsum frem og tilbake (begrensninger i lån). Økt skatter vil antakeligvis føre til mindre konsum nå
- Vi har også antatt at det er null rente (problematisk - dette ser vi på senere).
Kommer den akkumulterte formuen i slutten av arbeidslivet til å endre seg? (\(A_{\Pi+1}\))
Ja - hvert år må det spares mindre for å opprettholde konsumet. Så
\(\Delta A_{\Pi+1} = -(H-\Pi)\Delta P = \Pi \Delta T < 0\)
Tilsvarende hvor mye mindre man må spare selv til pensjonen.
Overlappende generasjoner og aggregert privat konsum
En kritikk av modellen som vi har studert er at den ikke tar hensyn til at en økonomi består av mennesker i ulike livsløper. Det er her den overlappende generasjoner modellen kommer.
Nå har vi en modell med tre perioder
I to perioder er de yrkesaktive og den tredje er de pensjonerte.
I en bestemt periode så lever tre aldersgrupper samtidig.
Unge (young, y), middelaldrene (middle aged, m) og gamle (old, o)
Den unge generasjonen starter uten formue
Da har vi \(C^y\), \(C^m\), \(C^o\) og \(A^m\), \(A^o\)
Antall individer i de tre generasjonene: \(B^y\), \(B^m\), \(B^o\)
Aggregert privat konsum og initialformuene i denne perioden er:
\(C=B^yC^y + B^mC^m + B^oC^o\)
\(A = B^mA^m + B^oA^o\)
R: lønn etter skatt
\(C^y = \frac{1}{3}(R^y+R^m+P^e)\)
Der \(R^y\) er nettolønn inneværende periode, og \(R^e\) og \(P^e\) er forventninger til lønn og pensjon i de neste to periodene.
-Konsum i en av periodene for de unge skal være gjennomsnittet av inntektene.
Så her, hvis du økte din lønn med 100 i en periode, hvor mye ville du øke dit konsum? 100/3
Samme type for middelaldrene: hva er det?
\(C^m = \frac{1}{2}(R^m +P^e+A^m)\)
- Nå bare konsum over to perioder, og gitt formuen over to perioder.
Hvis du øker lønnet til en middelaldrene arbeider med 100, hvor mye øker du konsumet? Med 50 - deler over to perioder.
Hva er konsumet til de gamle generasjonen?
\(C^o = P + A^o\)
Vår aggregert konsumfunksjon:
\(C = B^y \frac{1}{3} (R^u + R^m + P^e) + B^m \frac{1}{2} (R^m + P^e + A^m) + B^o(P+A^o)\)
Spørsmål: Regjeringen vurderer å bruke finanspolitikk til å stimulere økonomien. De vurderer enten å kutte skattene eller å øke pensjonene en tilsvarende sum. I følge denne modellen, hva ville vært mest effektivt?
Permanentintektshypotesen
- Også bygger på konsumutjevning
- I tillegg, bygger på at disponibel inntekt er basert på to komponenter: permanente og transitorisk.
- Bare permanente økninger i inntekt som påvirker konsum
- Transitorisk går bare til sparing
- Veldig lite Multiplikator.
Rente, tidspreferanse og sparing
Nå la oss analysere betydningen av rente
2-periode modell.
\(U = u(C_1) + \frac{1}{1+\rho} u(C_2)\)
Der \(\rho\) er tidspreferansen.
Hvis vi antar at initialformuen, \(A_1\) og sluttformue ved utgangen av \(A_3\) er lik 0.
Realrenten er r.
Budsjettbetingelsen:
\(C_2 = R_2 + (1+r)(R_1-C_1)\)
Hvor på figuren er det null sparing?
Optimal sparing
Her ser vi en figur som representerer vår modell av optimal forbruk over to perioder. Det optimalpunktet er der preferansene (representert av indifferenskurven-den røde kurven) så vidt berører budsjettkurven. Figuren viser et optimalpunkt som ligger til venstre for null-sparing punktet. Det vil si, at det er optimal for denne forbrukeren til å spare i den første perioden (konsum er mindre en inntekt, R1), og ha høyere konsum enn inntekt (R2) i den andre perioden. Helningen av budsjettlinjen representerer de relativeprisene mellom konsum i den første og andre perioden. Nå, gitt at prisnivåene er stabile, så er det renten som representerer de relativeprisene. Hvis renten går opp, så blir det dyrere å flytte konsum fra periode 2 til 1 (dyrere å ta ut lån.) Du kan trykke på Senk renten og deretter "Optimal forbruk" for å se effekten av å senke renten. Med lavere rente, så er det mindre gunstig å spare penger. Derfor vil det optimale punktet flytte til høyre.
Utledning
Start med
\(U = u(C_1) + \frac{1}{1+\rho} u(C_2)\)
Sett inn budsjettbetingelsen:
\(U = u(C_1) + \frac{1}{1+\rho} u(R_2 + (1+r)(R_1-C_1))\)
Maksimere med hensyn på C_1 og bruke av chain-rule
\(u’(c_1) + \frac{1}{1+\rho} u’(C_2)*-(1+r) = 0\)
\(\frac{u’(C_1)}{u’(C_2)} = \frac{1+r}{1+\rho}\)
Hva sier dette?
Størrelsesforholdet henger sammen med tidspreferansen og realrenten.
Drar i ulike retninger.
Oppgaver
1.) La oss si at vi har en nyttefunksjon med formen:
\(u(C) = ln(C)\)
a. Tegn en figur som viser denne nyttefunksjonen, med C på x-aksen og u(C) på y-axsen. Funksjonen burde være avtagende, er dette økonomisk-sett intuitivt?
b. La oss si at i en 2-periode modell, kan vi velge mellom å få konsum på 30 den ene periode og 50 den andre eller 40 i konsum begge periodene. Hvilke av de to valgene ville du foretrekke (med gitt nyttefunksjon)? Forklar intuisjonen.
Vi husker at den deriverte av naturlog funksjonen blir:
\(u’(C) = \frac{1}{C}\)
c. Vi har igjen en to-periode modell, der konsum i de to periodene er \(C_1\) og \(C_2\). Konsum i de to periodene må være likt summen av disponible inntekt i periodene (R). Realrenten er 0.
Finn ligningen for optimal konsum i periodene 1 og 2.
Det vil si,
\(\max_{C_1, C_2} u(C_1) + u(C_2)\)
st
\(C_1 + C_2 = R\)
a.)
Det burde se noe slikt:
Avtakende egenskapen kan vi forklare ved å si at jo mer konsum vi har, jo mindre ekstra nytte vi får når vi får litt ekstra.
b.) Med vår ln(C) nyttefunksjon, burde vil velge 40 i begge periodene (med ingen tidspreferanse, og ingen rente), fordi funksjonen er avtakende, og derfor har vi preferanse for å jevne konsum.
c.) Vi setter inn vår budsjettbetingelse i vår nytte funksjon:
\(ln(C_1) + ln(R-C_1)\)
Førsteordensbetingelse blir da
\(\frac{1}{C_1} = \frac{1}{R-C_1}\)
\(C_1 = R - C_1\)
\(C_1 = R/2\) og \(C_2 = R/2\)
2.) Nå har vi en tre-periode modell med konsum, \(C_t\), i periodene t=1,2,3. Man tjener lønn, \(Y_t\) i periode t=1,2 og en pensjon P i periode t=3. Du betaler skatt på lønn, \(NT_t\) i periodene t=1,2 og skattene betaler for pensjonen: \(NT_1 + NT_2 = P\). Nyttefunksjonen er logaritmisk: \(u(C) = ln(C)\). Realrenten er 0.
a. Si at \(Y_1 = 30\), \(Y_2 = 70\). Skatt tilsvarer 25% av lønn. Hvor mye er konsum i de tre periodene.
b. Staten øker inntektsskattene til 40%. Hvordan vil det endre konsum i de tre periodene?
a.) Konsum blir 100/3 i hver av periodene.
b.) Det vil ikke endre konsum, ifølge modellen. Man vil bare endre hvor mye man sparer / tar ut gjeld.
3.) Nå har vi igjen en to-periode modell med \(C_1\) og \(C_2\), men nå introduserer vi en positiv realrente, r, og tidspreferanse, \(\rho\). Vår nyttefunksjon er nå:
\(U = u(C_1) + \frac{1}{1+\rho}u(C_2)\)
nyttefunksjonen er igjen logaritmisk:
\(u(C) = ln(C)\)
Disponibel inntekt er \(R_1\) og \(R_2\) i de to periodene.
Og vi har budsjettbetingelsen:
\(C_2 = R_2 + (1+r)(R_1-C_1)\)
a. realrenten, r=0,03 og \(\rho = 0,10\). \(R_1=50\) og \(R_2 = 150\). Hva blir konsum i de to periodene?
b. sentralbanken setter opp renten flere ganger i løpet av et år, og realrenten er nå \(r=.05\). Tidspreferansen er uendret. Hva skjer med konsum i de to periodene?
vår optimalbetingelse blir:
Vi setter in busjettskranken i vår nyttefunksjon
\(ln(C_1) + \frac{1}{1+\rho}ln(R_2 + (1+r)(R_1 - C_1)\)
Førsteordensbetingelse:
\(\frac{1/C_1}{1/C_2} = \frac{1,03}{1,10}\)
\(\frac{C_2}{C_1} = \frac{1,03}{1,10}\)
\(150 + (1,03)(50-C_1) = C_1 \frac{1,03}{1,10}\)
\(201,5 = 1,03*C_1 + C_1 \frac{1,03}{1,10}\)
\(201,5 = C_1*1.966\)
\(C_1 = 102,4\)
\(C_2 = 96\)
b. Det har blitt dyrere å låne penger i periode 1, så man har mindre konsum i periode 1 og mer konsum i C_2.