Produktivitet, økonomisk vekst og ulikhet

Arbeidsproduktivitet

For å oppnå høyere langsiktig BNP per innbygger, må vi øke det hver en av oss klarer å produsere. Det vil si, arbeidsproduktivitet.

$$y=\frac{Y}{TV}$$

• \(y:\) Arbeidsproduktivitet
• \(Y\): BNP-volum
• TV: utførte timeverk

Vi definerer arbeidsproduktivitet, som vi vil skrive med liten y, som BNP-volum (stor-Y) delt med utførte timeverk (TV). Det vil si at arbeidsproduktivitet måles som hvor mye produksjon man i gjennomsnitt klarer å gjøre med en times arbeid.

BNP-volum per innbygger og produktivitet

Vi Deler BNP-volum per innbygger inn i to deler. Arbeidsproduktivitet (Y/TV), og Og utførte timeverk per innbygger:

$$\frac{Y}{B} = \frac{Y}{TV}*\frac{TV}{B}$$

Der:

• \(\frac{Y}{TV}=y\): Arbeidsproduktivitet
• \(\frac{Y}{B}\): BNP-volum per innbygger
• B: folkemengde (befolkning)

I form av vekst-størrelser, så kan vi også skrive dette som:

$$g_{Y/B} \approx g_{Y/TV} + g_{TV/B}$$

Dette viser at økt BNP-volum kan komme fra to kilder:

Enten kan man øke antall timeverk per innbygger, det vil si at vi kan jobbe mer.

Eller så kan kan man øke arbeidsproduktiviteten. Man kan jobbe hardere eller smartere. De fleste vil jobbe smartere, og derfor er arbeidsproduktivitet så viktig.

Ved å bruke vår omtrentlig regler for vekstrater, kan vi også si at veksten i BNP per innbygger er omtrent lik summen av veksten av arbeidsproduktivitet og veksten av utførte timeverk.

Vi har sett i Norge og mange andre land at BNP-volum per innbygger har økt kraftig siden 1950-tallet mens antall utførte timeverk per innbygger har faktisk gått ned siden vi har fått kortere arbeidsuker og flere feriedager.

Økningen av BNP-volum siden 1950-tallet er derfor hovedsakelig en økning i arbeidsproduktivitet.

Produktivitet og produktfunksjoner

Den enkleste formen av en aggregert produktfunksjon er en lineær funksjon der arbeidskraft er eneste faktor. Her er innsatsfaktoren menneskelig arbeidskraft, og alt annet som er viktig for produksjon: teknologi, selskapsform, markedsstruktur er representert med A, noe som vi kaller total faktorproduktivitet (som er et fancy ord for alt annet):

$$Y=A*L$$

• L: Mengden av arbeid (timeverk)
• A: Total faktorproduktivitet (alt annet enn arbeid)

Men vi skal gjøre det litt mer kompleks ved å si at vi har faktisk to innsatsfaktorer: arbeidskraft og real-kapital - barristaer og espressomaskiner.

$$Y=A*F(K,L)$$

der

• K: Beholdning av realkapital
• K og L kan substitueres

F(K, L) betyr at kombinasjonen av K og L vil føre til noe produksjon som da multipliseres med total faktorproduktivitet (A) for å gi oss total produksjon (BNP-volum).

Når vi skrev at produksjon var en funksjon av kapital og arbeidskraft, sa vi ikke noe om akkurat hvordan de to faktorer skulle kombineres. Men vi har kanskje noe på ønskelisten.

Vi ønsker at hvis vi fordobler kapital (espresso-maskiner) og arbeidskraft (barristaer) så kan vi også klare å fordoble produksjon (antall capucinoer) Dette heter konstant skalautbytte.

Videre, ønsker vi at hvis vi øker bare en av faktorene uten å endre den andre, så fører det til økt produksjon, men med mindre og mindre virkningen. For eksempel, hvis man har tre barristaer og en espressomaskin, så kan man øke produksjonen ganske mye ved å kjøpe en ekstra maskin, så at barristaene slipper å stå i kø for å bruke maskinen. Å kjøpe inn en tredje maskin vil føre til enda mindre kø, men effekten blir noe mindre.

Å kjøpe inn en fjerde espressomaskin kan hjelpe med produksjon hvis en av de andre har problemer eller blir ødelagt, men ellers øker produksjonen veldig lite.

Dette heter avtakende utbytte

Relatert til avtakende utbytte, så ønsker vi at hvis vi øker arbeidskraft, så vil det føre til at vi øker utbytte til realkapital. Det vil si, hvis vi går fra 3 til 4 barristaer, så vil utbytte av å gå fra 3 til 4 espresso-maskiner også øke. Det omvendte gjelder også. Hvis vi kjøper inn en ekstra espresso-maskin, så vil avkastningen av å hyre inn en ny barrista også øke.

Oppsummering:

I vår produktfunksjon, så ønsker vi:

• Konstant skalautbytte
• Avtakende utbytte av realkapital og arbeidskraft
• Økt mengde av arbeidskraft øker utbytte (marginalproduktet) av realkapital (og omvendt)

Cobb-Douglas produktfunksjon

En Cobb-douglas produktfunkjsonen er en eksplisit matematisk produktfunksjon som gir oss all egenskapene som vi disktuterte over.

Vi kan skrive en Cobb-Douglas produktfunksjon som:

$$Y=A*K^a*L^{1-a}$$

• A: Total faktorproduktivitet
• K: Beholdning av real-kapital
• L: Antall timeverk
• a: Vekting (geometrisk) mellom K og L

a har rollen av å fortelle oss hvor mye vekting vi skal gi til kapital eller arbeidskraft. Det vil si, om a er nærmere en, så vil kapital ha en høyere vekting i produksjon (og arbeidskraft tilsvarende lavere).

En eksempel:

Vi har følgende Cobb-Douglas produktfunksjon:

$$Y=100*K^{0,5}*L^{0,5}$$

Vi begynner med 100 i kapital og 100 i L, hva er BNP?

$$𝑌=100*100^{0,5}*100^{0,5}=100*10*10=10.000$$

Legg merke til at \(𝐾^{0,5}=\sqrt{K}\)

Vi øker K med 100 (så at K=200), hvor mye er BNP?

$$𝑌=100*200^{0,5}*100^{0,5}=100*14,142*10=14.142$$

En endring av 4142

Vi øker K med 100 igjen (så at K=300), hvor mye er BNP?

$$𝑌=100*300^{0,5}*100^{0,5}=100*17,320*10=17.320$$

En endring av 3178 (avtagende skalautbytte)

Nå øker vi også L med 200, (så at L=300 og K=300) hva er BNP?

$$𝑌=100*300^{0,5}∗300^{0,5}=100*17,320*17,320=30.000$$

Vi begynner med en BNP av 10.000

Hvis vi øker kapital med 100, så får vi produksjon av 14.142, det vil si at vi fikk 4142 med ekstra produksjon når vi øker kapital med 100 Hvis vi øker kapital igjen med 100, så får vi produksjon av 17320, så nå har vi bare økt vår produksjon med 3178.

Dette er hva avtakende utbytte betyr

Når vi øker både K og L fra 100 til 300, så tre-dobler vi også produksjon til 30.000. Det vil si at vi har konstant skalautbytte når vi øker begge innsatsfaktorene samtidig.

Regneeksempel 4.2

Vi har følgende Cobb-Douglas modell for reelt-BNP:

$$Y=AK^aL^{1-a}$$

Med følgende parametere:

• Sysselsetting L: 2500
• Total faktorproduktivitet A: 0,5
• a: 0,5

a.) Tegn en figur som viser sammenhengen der reelt-BNP er på vertikal-aksen og beholdning av realkapital er på horisental-aksen. b.) Hva skjer med figuren hvis L øker med 10 prosent.

Produktfunksjon i intensiv form

Det viktigiste elementet for langsiktig økonomisk vekst er arbeidsproduktivitet, det vil si produksjon per arbeider, eller utførte timeverk.

Vi kan skrive-om og forenkle vår produksjonsfunksjon så at vi har fokus på arbeidsproduktivitet.

Detter heter en produktfunksjon i intensiv form.

Cobb-Douglas produktfunksjon i intensiv form

Vi starter med vår Cobb-Douglas:

$$Y=A*K^a*L^{1-a}$$

Da deler vi begge sidene med arbeidskraft.

$$\frac{Y}{L} = A*\frac{K^a*L^{1-a}}{L} = A*\frac{K}{L}^a$$ $$y=A*k^a$$

Der,

• \(y=\frac{Y}{L}\): Arbeidsproduktivitet
• \(k=\frac{K}{L}\): Kapitalintensitet

På venstre side får vi da produksjon over arbeidskraft, som vi kan tolke som arbeidsproduktivitet.

På høyre side, har vi nå stor-A gange liten k til liten a

Liten k kaller vi kapitalintensitet: hvor mye realkapital man har per arbeider

Det som intensiv form får fram er at hvis vi øker kapital per arbeider (eller utførte timeverk) så øker vi produktiviteten.

Vi kan få til økt produktivitet og økt vekst ved å øke kapital per per arbeider.

Men effekten av økt kapitalintensitet er også avtakende: jo mer man øker kapital per arbeider, jo mindre effekt det har på produksjon (det vil si marginal-produktet går ned).

Figuren viser hvordan en produktfunksjon i intensiv form ser ut som.

Vi ser at vi kan øke arbeidsproduktivitet ved å øke kapitalintensitet, men effekten blir mindre og mindre jo mer kapitalintensiv en økonomi blir.

Øk k

Intuitivt, kan vi tenke oss at hvis vi får en datamaskin, så blir vi mye mer produktiv.

Vi kan kanskje bli litt mer produktiv med 2 datamaskiner: for eksempel ha både en mac og en windows maskin.

Med Tre datamaskiner er det nesten ikke noe effekt på vår produktivitet

Regnekesempel 4.3

Produktfunksjonen kan uttrykkes på følgende måte i intensiv form:

$$y=Ak^a$$

Der

$$y=\frac{Y}{L}$$ $$k=\frac{K}{L}$$

a.) Tegn denne produktfunksjonen i en figur der arbeidsproduktivitet er på den vertikal-aksen og kapitalintensitet er på x-aksen.

b.) Hva skjer med figuren dersom L øker med 10%.

Flere egenskaper til Cobb-Douglas formen

Når vi skriver vår produktfunksjon i intensivform ser vi flere egenskaper til cobb-douglas formen.

Som vi sa,

Økt kapitalintensitet øker arbeidsproduktivitet men med avtakende grad

I Cobb-Douglas formen kan vi også gi en intuitiv tolkning av liten-a og (1-a), som vi brukte å vekte kapital og arbeidskraft i produktfunksjonen.

Vi kan tolke a som inntektsandelen til real-kapital

Og (1-a) som inntektsandelen til arbeid

Det vil si, vi kan vise at a er likt inntekt til bruttokapital delt med total produksjon, der vi definerer inntekt til bruttokapital som marginalprodukt til kapital gange total beholdning av kapital.

På samme måte, kan vi vise at (1-a) er likt arbeidsinntekt delt med total produksjon, der arbeidsinntekt er definert som marginal produkt av arbeid gange mengde arbeid.

Intuitivt, vi kan tenke på marginal produkt av arbeid som lønn, og marginal produkt av kapital som leie-prisen på maskiner eller kontorbygg.

Så arbeidsinntekt er bare lønn gange hvor mye arbeid man har gjort.

Bruttokapital inntekt er på samme måte leien man betaler på en maskin eller kontorbygg gange hvor mange maskiner og kontorbygg man har.

Dette kan virke teknisk og litt tørt, men det er faktisk ganske viktig. Den kjente franske samfunnsøkonomen Thomas Piketty har argumentert at grunnen for økende ulikheter i mange land er at andelen av inntekt som går til kapital har økt kraftig de siste ti-år. Siden det er ofte de aller–rikeste som eier mye av kapitalen, så fører det til økt ulikhet i våre sammfunn.

Vi kan også se at stor-A (det vi kaller Total-Faktor Produktivitet) øker BNP-volum, arbeidsproduktivitet og utbyttene av real kapital og arbeidskraft proporsjonalt. Den har samme effekt uansett om man ser på produktfunksjonen i vanlig form eller intensiv form.

Hvis du øker A med 10 prosent, så øker du både BNP-volum med 10 prosent og arbeidsproduktivitet med 10 prosent.

Stor-A har også samme effekt på utbytte fra real-kapital og arbeidskraft.

Vi husker at total-faktor produktivitet er en rest-post. Det er der vi setter alt annet.

Men på lang sikt, kanskje det viktigste vi setter i total faktor produktivitet er teknologisk utvikling. Vi kan gjøre både kapital og arbeidskraft mer effektiv ved å finne på nye teknologier og nye måter å jobbe på.

Sist, sier vi at hvis kapitalintensiteten går mot null, så går også arbeidsproduktivitet mot null. Det vil si, hvis vi får mindre og mindre kapital per arbeider, så blir vi mindre og mindre effektivt helt fram til vi begynner å nærme oss null kapital per arbeider, så betyr at vi har også nærmest null produktivitet. Vi trenger verktøy (det vil si kapital) for å produsere. Det kan ikke bare være arbeidskraft.

Det er viktig å huske, at Cobb-Douglas produktfunksjonen er bare en modell, eller vi kan til og med tenke på det som en metafor. Den har noen gode egenskaper, men det er langt fra en perfekt beskrivelse om hvordan et land øker sin produksjon. Cobb-Douglas funksjon, som alle andre modeller, er en forenkling som forhåpentligvis tillatter oss å få en bedre forståelse om hvordan økonomisk vekst skjer.

Oppsummering

Cobb-Douglas produktfunksjonen har flere intuitive egenskaper.

• Økt kapitalintensitet øker arbeidsproduktivitet, men med avtakende grad.
• Vi kan tolke a som inntektsandelen til real-kapital og (1-a) som inntektsandelen til arbeid:
• \(a=\frac{MPK*K}{Y}\)
• \((1-a) = \frac{MPL*L}{Y}\)
• MPK: marginal produkt av kapital
• MPL: marginal produkt av arbeid (labor)
• MPK*K = bruttokapital inntekt
• MPK*L = arbeidsinntekt
• Økt total faktorproduktivitet (A) øker både BNP-volum, arbeidsproduktivitet og utbyttene av real-kapital og arbeidskraft proporsjonalt
• Hvis kapitalintensiteten går mot null (med konstant A), vil også arbeidsproduktivitet gå mot null.

Regneeksempel

Vi har følgende produktfunksjon for en økonomi:

$$Y=0,8 K^{0,5}*L^{0,5}$$

Og i et bestemt år har vi:

• K=10.000
• L=2.500

a.) Hva er BNP-volum

b.) Hva er arbeidskraftens marginalprodukt (MPL)?

Vekstregnskap

Vi har sett så langt at økonomisk vekst kan komme fra ulike kilder:

• Vi kan få vekst ved å øke arbeidsstyrken

Men hvis vi holder arbeidsstyrken konstant, eller fokuserer på arbeidsproduktivitet, så kan vekst bare komme fra to kilder

• Vekst i kapital eller vekst i kapitalintensitet og
• Vekst i total faktor produktivitet, som er en rest post der vi kaster inn alt annet som kan påvirke vekst, men der teknologisk utvikling er kanskje mest viktig.

Vekst i arbeidsproduktivitet

Hvis vi begynner med vår Cobb-Douglas produktfunksjon i intensiv form, så kan vi bruke våre regne regler til å vise at vekstraten for arbeidsproduktivitet består av vekstraten i total faktorproduktivitet plus vekstraten i kapitalintensitet proporsjonalt med a.

$$y=Ak^a$$

Vi bruker vekst-regneregelene til å skrive:

$$g_y = g_A + a*g_k$$

Der,

• \(g_y\): Vekstraten for arbeidsproduktivitet
• \(g_A\): Vekstraten i total faktorproduktivitet
• \(g_k\): Vekstraten i kapitalintensitet

Hvis vi vil ha fokus på total faktor produktivitet som rest-post, så kan vi også skrive vekstraten i total faktorproduktivitet som forskjellen mellom vekstraten for arbeisproduktivitet og vekstraten i kapitalintensitet (igjen proporsjonalt med liten-a)

Vi kan også snu det rundt og skrive total faktorproduktivitet:

$$g_A = g_y - a*g_k$$

Regneeksempel 4.4

Ta utgangspunkt i produktfunksjonen:

$$Y=AK^a*L^{1-a}$$

Der

• a=0,5
• A=0,5
• L=2500
• K=10.000

a.) Øk K og L med 5% og regn ut vekstraten til Y

b.) Sett opp vekstligningen for vilkårlige vekstrater i K og L men anta ingen vekst i totalfaktorproduktivitet.

c.) Anta i stedet at K øker med 10% og ingen endring i L. Regn ut vekstraten til Y med omtrentlig og eksakt metoden.

Vekst i arbeidsproduktivitet

Hvis vi igjen bruker våre regneregler, kan vi også se at vekst i arbeidsproduktivitet kan skrives som forskjellen mellom vekstraten i BNP og vekstraten i arbeidstyrken $$y=\frac{Y}{L}$$ $$g_y = g_Y - g_L$$

Vekstraten i kapitalintensiteten kan på lik måte skrives som forskjellen mellom veksten i Kapitalbeholdning og vekstraten i arbeidsstyrken.

$$k=\frac{K}{L}$$ $$g_k = g_K - g_L$$

Her er det lett å se, for eksempel at hvis arbeidsstyrken er konstant, det vil si at det er null vekstrate, så er vekst i BNP og vekst i arbeidsproduktivitet det samme og vekst i kapitalintensitet er det samme som vekst i kapital.

Og deretter

$$g_y = g_Y - g_L = g_A + a(g_K - g_L)$$

der

$$g_Y = g_A + ag_K - ag_L$$

Med å sette sammen ligningene for produktivitet og produktfunksjonen, kan vi skrive det vi kaller for Vekstligningen:

$$g_Y = g_A + a*g_K + (1-a)g_L$$

Her skriver vi at vekstraten til BNP er likt vekstraten til total faktorproduktivitet plus en ved sum av vekstratene til realkapital og arbeidskraft.

Vi kan også skrive vekstligningen i en form der vi ser eksplisitt på vekstraten i total faktorproduktivitet som en rest post ved å kalkulere den som forskjellen mellom vekst i BNP og en veid sum av vekstratene i real kapital og arbeidskraft

$$g_A = g_Y - a*g_K - (1-a)g_L$$

Dette ligner måten makroøkonomer i praksis måler total faktorproduktivitet. Det er den delen av vekst som vi ikke lett kan forklare med enten vekst i arbeidskraft eller vekst i kapital.

Å måle TFP direkt kan være veldig vanskelig siden det står for mange ulike begrep som er i seg selv vanskelig å måle: som hvor effektiv markedene er i en økonomi og teknologisk utvikling.

Regneeksempel 2.5

Et land har over en periode på 10 år hatt en gjgennomsnittlig vekst i reelt-BNP på 3% per år. Veksten i realkapital har vært 4% per år og veksten i arbeidskraft har vært 1 prosent per år. Kapitalinntektens andel av BNP er 40 prosent.

a.) Beregn den gjennomsnittlig årlig veksten i total faktorproduktivitet

b.) Beregn den gjennomsnittlige årlige veksten i arbeidsproduktivitet.