Økonomisk vekst og produktfunksjonen

Forelesninger i makroøkonomi, Campus Trondheim

MM 4.1-4.5

Økonomien på langsikt

Når vi snakker om økonomien på langsikt i makroøkonomi, så snakker vi om utviklingen i et land eller region over mange tiår. Det store spørsmål som vi prøver å svare på er hvorfor noen land er rike og andre er fattige.

På langsikt, ser vi bort fra ting som vi tenker er mer kortsiktige: som konjunkturer og inflasjon. Vi analyserer kun prosessen av hvordan en økonomi klarer å vokse over mange ti-år.

Det er ofte BNP-volum per arbeider som vi bruker å måle denne økonomiske veksten og veksten i levestandard.

Vi kan oppnå dette på to måter

Vi kan uttrykke dette med følgende ligning

$$\frac{Y}{B} = \frac{Y}{TV}x\frac{TV}{B}$$

der

Det vil si, at BNP per pers kan deles inn i timeverk per menneske (jobbe hardere) og BNP per timeverk (jobbe smartere)

Vi kan da også se at for å øke levestandarden på langsikt, så må vi mer enn å bare jobbe mer, vi må finne på måter å øke produksjon per pers.

Produktfunksjonen

Vår viktigiste verktøy for å analysere økonomisk vekst er produktfunksjonen.

Vi kan generelt skrive en produktfunksjon som:

$$Y=F(K,L)$$

der

L og K er det vi kaller for produksjonsfaktorene - det er innputtene i vår økonomi.

Men merk også at produktfunksjonen F(). Dette er kanskje den viktigste delen av ligningen. F() representerer hvordan og hvor effektivt økonomien tar disse innsatsene og skaper produksjon. Du kan tenke på at dette representerer teknologi, institusjoner, lovverk, osv -- alt som er også viktig i å bestemme hvordan arbeid og kapital kommer sammen for å skape produksjon i en økonomi.

Egenskaper til produktfunksjonen

Nå må vi bestemme hvilke egenskaper vår produktfunksjon burde ha.

Kanskje det viktigiste spørsmålet er, hvis vi fordobler N og K, hva blir effekten på Y?

Hvis produksjon også fordobler seg, så har man “konstant skala-utbytte” (“Constant Returns to Scale”)

Dette virker intuitivt - vi fordobler antall mennesker, antall maskiner/bygg, så burde vi kunne fordoble produksjonen.

Avtagende skala-utbytte.

Hva om bare en faktor øker?

Vi ønsker en produktfunksjon med avtagende skalautbytte.

Hva betyr det?

Avtagende skalautbytte gjelder også arbeidskraft. Uten å øke kapital, så er det mindre og mindre utbytte hver gang man ansetter noen ny.

Det er ineffektivt om 3 eller 4 stykker må sitte rundt en datamaskin.

Total faktorproduktivitet

Er det faktorer annet enn K og L som spiller inn i vekst?

Alle disse “andre” tingene - det kaller vi for “Total faktorproduktivitet”. For en gitt K og L, hvor mye produksjon får vi.

La oss trekke ut denne “jukse”-leddet, og kalle det A (kanskje for alt annet)

$$Y = A*F(K, L)$$

Produksjonsmodel

Nå er vi klar til å begynne å skrive vår modell.

Vi begynner med

$$Y = A*F(K, L)$$

Deretter deler vi med arbeidskraft, L, så at vi ser på per-arbeider tall.

$$\frac{Y}{L} = F(\frac{K}{L}, \frac{K}{L})$$

Der vi skriver

\(y = \frac{Y}{L}\): Produksjon per arbeider (produktivitet)

og

\(k = \frac{K}{L}\): Kapital per arbeider (kapitalintensitet)

Nå kan vi igjen tegne vår produksjonsfunksjon der vi setter A=15

Se hva som skjer når vi øker A til 17 (for eksempel)

Her ser vi at vi kan øke produktivitet (y) på to måter

Oppgave: Cobb-Douglas produktfunksjon

Vi bruker ofte det som heter en "Cobb-Douglas" produktfunksjonen, siden den har noen matematiske egenskaper som vi synes også har god økonomisk intuition: avtagende skalautbytte i en faktor, konstant skalautbytte i alle faktorer, osv

Vi kan skrive "Cobb-Douglas" produksjonsfunksjonen som

$$Y=AK^{a}L^{1-a}$$

a.) Beregn produksjon når:

$$Y=\sqrt{49}*\sqrt{81}=7*9=63$$

b.) Hvis både kapital og arbeidskraft fordobler seg, hvor mye blir produksjon?

$$Y=\sqrt{2*49}\sqrt{2*49}$$ $$Y=\sqrt{2}\sqrt{49}\sqrt{2}\sqrt{49}$$ $$2*\sqrt{49}\sqrt{49}$$

Y (produksjon) fordobler seg!

c.) Er produksjonsfunksjonen preget av konstant skala-utbytte?

Ja! (Vi viste det i b.)

d.) Skriv om produksjonsfunksjonen som en relasjon mellom produksjon per arbeider og kapital per arbeider.

$$\frac{Y}{L}=\sqrt{\frac{K}{L}}\sqrt{\frac{L}{L}}$$ $$\frac{Y}{L}=\sqrt{\frac{K}{L}}$$

e.) Anta at K/L = 4, hva er Y/L?

$$Y=\sqrt{4}=2$$

f.) Er forholdet mellom produksjon per arbeider og kapital per arbeider preget av konstant skala-utbytte

$$Y= \sqrt{2*4}=\sqrt{8} \approx 2,8$$

Nei, fordobling av K/L vil føre til avtagende skalautbytte.

g.) Hvorfor er svarene i f og c annerledes

Konstant skalautbytte gjelder bare når begge faktorene øker samtidig. Her er det kun kapital

Cobb-Douglas funksjonen

Vi skrev vår Cobb-Douglas funksjon som:

$$Y=AK^aL^{1-a}$$

Men vi kan også skrive den om i intensiv form

$$\frac{Y}{L} = A(\frac{K}{L})^a(\frac{L}{L})^{1-a}$$ $$y = Ak^{a}$$

Der vi husker at y representerer produktivitet (produksjon per arbeider) og k er kapitalintensitet (kapital per arbeider)

Vi tegner igjen en cobb-douglas i intensiv form med parameterene:

$$y=10k^{1/2}$$

husk at \(x^{1/2} = \sqrt{x}\)

Nå kan vi se hva som skjer når vi endrer a.

Hvilken tolkning kan vi gi når a blir større (næmere 1)?

I intensiv form har vi også avtagende form. Jo mer k, jo mindre avkastning

Denne avkastningen kaller vi for samfunnsøkonomiske kapitalavkastning (MPK)

En annen egenskap vi får i intensiv form:

Økt kapitalintensitet øker arbeidsproduktivitet, men i avtakende grad

Vi kan tolke a og (1-a) på en økonomisk måte: Samfunnsøkonomiske intektsandelene til realkapital og arbeidskraft

Hva betyr det: hvilken andel av BNP (inntekt) får (eierene) av kapital, og arbeidskraft. Vi kan vise dette i cobb-douglas funksjonen:

$$a = \frac{MPK*K}{Y}$$ $$(1-a) = \frac{MPL*L}{Y}$$

Siste egenskap: økt A øker både Y, y og MPK og MPL proporsjonalt.

Vekstregnskap

Hvis vi husker våre vekstligningsregler:

$$x*y => g_{x*y} = g_ + g_y$$ $$g(x/y) = g_x - g_y$$ $$g(x^a) = a*g_x$$

Så kan vi transformere vår produktfunksjon til en vekstligning

$$y=Ak^a$$ $$g_y = g_A + a*g_k$$

Vi kan også skrive det om:

$$g_A = g_{y} - a*g_{k}$$

eller fra den opprinnelige (ikke-intensive) modellen

$$g_A = g_Y - ag_K + (1-a)g_L$$

Å skrive det på denne måten gjør det tydelig at A er en restpost: det inkluderer alt vekst i Y som ikke forklares av kapitalvekst og vekst i antall arbeidere.

Og når vi egentlig går gjennom historie og ser på hvor det meste av økonomisk vekst kommer fra, så ser vi at det kommer fra TFP vekst

Oppgave: Hva forklarer TFP-vekst?

Humankapital

En av de viktigste kildene til TFP vekst, og vekst totalsett er en litt diffus ide som heter humankapital

Humankapital er ideen at du bygger opp kompetanse som er verdiful for økonomien via utdanning, opplæring og erfaring

Vi kan kjennetegne humankapital på følgende måter:

Men det finnes noen store forskjeller mellom humankapital og det vi vanligvis tenker på som kapital i en økonomi.

Vi kan prøve å ha en eksplisitt ledd for humankapital i vår produksjonsfunksjon

Definere h: humankapital per arbeider

$$Y=\hat{A}K^a(hL)^{1-a}$$

Nå har vi tatt h ut av A, så vi har en annen type A. Og vi ganger h med arbeidskraft - vi representerer eksplisitt at det er humankapital er noe som direkt påvirker produktiviteten til arbeidskraft.

Vi kan også skrive det i intensivform:

$$\hat{y} = \hat{A}\hat{k}^ah^{1-a}$$

Og deretter i vekst-formatt:

$$g_y = g_{\hat{A}} + ag_{\hat{k}} + (1-a)g_h$$

Vi kan tolke dette som at vekst i produktivitet kommer fra TFP (eks HK), vekst i kapitalintensitet, og vekst i humankapital.