Solow Modellen

Sparing, kapital og produksjon: Solow-modellen

For å prøve å forstå langsiktig økonomisk vekst, starter ofte makroøkonomer med en basismodell som heter Solow-modellen.

Solow-modellen begynner med vår enkel produksjonsfunksjon som gir interaksjon mellom produksjon per arbeider og kapital per arbeider, som vi allerede har sett:

$$y = Af(k)$$

Vi legger til noen antakelser:

Med disse to antakelser, kan vi i utgangspunkt fokusere på bare en ting: endring i økt kapital

Investering of kapitalakumulering:

For å øke kapital, må vi ha investering. Vi husker følgende ligning:

$$I = S + (T - G) $$

Investering er likt Privat Sparing + Offentlig sparing (lukket økonomi, ingen netto eksport)

Nå kan vi gjøre en til forenklende antakelse:

Det vil si at vi går ut i fra at staten har en balansert budsjett--at de altid tar inn like mye i skatter som de bruker i offentlig konsum.

Hvis vi antar videre at privat sparing er proporsjonal til inntekt: S=sY

Hvor:

Da kan vi skrive:

$$I_t = sY_t$$

Det vil si at investering i en viss periode t er likt spareraten, s gange produksjon/inntekt i en viss periode t.

Videre kan vi da si at det vi ikke sparer går til samlet konsum

$$(1-s)Y = C+G$$

Vi husker at investering er en flyt som er målt per periode, mens kapital er en beholdning - det er akkumulasjonen av investering over tid.

Vi kan skrive den dynamiske forholdet mellom investering og kapital som:

$$K_{t+1} = K_t-dK_t + I_t$$

eller

$$K_{t+1} = (1-d)K_t + I_t$$

der d er kapitalslitandelen/depresieringsraten og \(dK_t\) er kapitalslit: vi kan tenke på det som en gjennomsnittstall på hvor mye kapital blir utslitt i løpet av et år og som vi må skrotte.

Vi kan tolke ligningen som at kapital i neste periode er likt kapital i denne perioden, menus vår kapitalslit pluss vår investering.

Dynamikk, stasjonærtilstand og en stor badekar

Vi kan visualisere dynamikken som vann i et badekar:

Investering (\(I_t\)) er vannet som kommer gjennom kranen og øker vannstanden.

Kapitalslit (\(\delta K_t\)) er vannet som renner ut av vannet (og er proporsjonalt med hvor mye vann (kapital) ligger i badekaret) - mer vann mer tyngdekraft som presser vannet ut (mer kapital, jo mer kapitalslit.)

Det vi søker etter er det vi kaller stasjonærtilstand: når vannnivået i badekaret holder seg stabilt. Når skjer det?

Når vannet som renner inn (investering) er likt vannet som renner ut (kapitalslit)!

Det vil si, vi oppnår stasjonærtilstand-- som vi skriver \(K_{t+1}-K_t=0\) når

$$I_t = dK_t$$

Investering = kapitalslit

Kapitaldynamikk og økonomisk vekst

La oss starte med vår ligning for dynamikken til kapital (hvor mye vann akumulerer i badekaret):

$$K_{t+1} = (1-d)K_t + I_t$$

Vi bruker definisjonen at investering er likt sparing (sparingsraten gange inntekt/produksjon) \(I_t = sY_t\) til å skrive vår dynamisk ligning om til:

$$K_{t+1} = (1-d)K_t + sY_t$$

Og deretter deler vi med arbeidskraft, L, for å gjøre om ligningen til intensivform

$$\frac{K_t+1}{L} = (1-d)\frac{K_t}{L} + s \frac{Y_t}{L}$$ $$k_{t+1} = (1-d)k_t + sy_t$$

Kapital per arbeider i (t+1) er likt kapital per arbeider i (t) menus kapitalslit plus investering (som kommer fra sparing)

Vi kan skrive det om som:

$$k_{t+1} - k_{t} = \Delta k_t = s*y_t - d*k_t$$

Endring i kapitalbeholdning er likt sparing per arbeider menus kapitalslit per arbeider

Hovedpoeng med alt dette:

I denne enkleste av solow-modeller, der A og L er konstant, så er produksjon bestemt av kapital:

$$y_t = A f(k_t)$$

eller i cobb-douglas form:

$$y_t = Ak_t^a$$

En økning i produksjon (økonomisk vekst!) er da avhengig av en økning i kapitalbeholdning (kapitalintensitet i intensiv form).

Mens kapitalbeholdning (kapitalintensitet) er bestemt av investering of sparing.

Vi kan sette inn vår cobb-douglas produksjonsfunksjon inn i vår dynamisk ligning og får:

$$\Delta k_t = sAk^a - d k$$

Som vi kan lese som at endring i kapital per arbeider \(\Delta k_t\) er avhengig av:

  1. Investering per arbeider, \(sAk^a\)
  2. Kapitalslit per arbeider-som er proporsjonalt til kapitalbeholdning.

Det betyr at hvis investering per arbeider er større en kapitalslit per arbeider:

$$\frac{I}{L} > d \frac{K_t}{L}$$

Så øker \(K_{t+1}\)

Grafisk solowmodell

På figuren har vi tegnet tre kurver

La oss si at vi begynner med en viss kapitalintensitet, k, som vises på figuren. Hva slags dynamikk kan vi forvente på dette punktet?

Legg merke til at på dette punktet ligger investering høyere enn kapitalslit.

Det vil si at vi øker vår kapitalbestand (vannet i badekaret øker). Vi kan trykke på øk k, og vi ser at med økt kapitalmengde så har vi høyere produksjon, y.

Investeringskurven er fortsatt høyere enn kapitalslit - vi lager mer kapital enn det som forsvinner, så kapital vil fortsette å vokse og vi kan fortsette og trykke øk k.

Vi ser at y, produksjon, også fortsetter å øke.

Når slutter vi å øk k?

Når investeringskurven er det samme som kapitalslitslinjen!

Trykk på stasjonærtilstand for å sjekke svaret.

Hva har vi lært?

Med denne enkle modellen, har vi gjort 3 ting:

Skapt en dynamikk som fører til økt kapitalakkumulasjon

Sett at denne dynamikken kan føre til økonomisk vekst

Sett at denne prosessen kommer fram til en stasjonærtilstand der både kapitalnivå og produksjon holder seg stabilt. Vi kan tenke at dette er en situasjon der vi erstatter gamle maskiner, varebiler og utstyr, men ellers blir det ikke investeringer i å øke kapitalbeholdningen.

    Oppgaver I

  1. Hvordan ville følgende påvirke produksjon på langsikt? Hvorfor?

    a.) Å kunne trekke fra sparing fra inntekt når man betaler inntektsskatt.

    b.) Høyere kvinne-deltakelse i arbeidsstyrken

    a.) Sparing vil øke og Y/N vil øke så lenge s<50\%

    b.) Vi øker arbeidsstyrken, L, og derfor vil Y/N øke (det vil si produksjon per pers) siden

  2. Med en produktfunksjon i Cobb-Douglas form: \(Y=Ak^a\), kapitalslitrate/depresiering, d, og sparerate s, kan du skrive en ligning for kapitalintensitet i stasjonærtilstand?

    Vi så at stasjonærtilstand er der investering er likt kapitalslit:

    $$I=dk$$

    Vi bruker defn of investering: \(I=sY=sAk^a\)

    $$sAk^a = dk$$ $$k^a = \frac{d}{sA}k$$ $$\frac{k^a}{k} = \frac{d}{sA}$$ $$k^{a-1} = \frac{d}{sA}$$ $$k^* = (\frac{d}{sA})^{1/(1-a)}$$

  3. Kan du skrive en ligning for produksjon i stasjonærtilstand

    Vi setter bare våre k i stasjonærtilstand, \(k^*\) inn i vår produktfunksjon:

    $$y^* = Ak^{*a}$$ $$y^*= A(\frac{d}{sA})^{\frac{a}{1-a}}$$

  4. Hva er konsum, c, i stasjonærtilstand med en Cobb-Douglas produktfunksjon?

    Konsum er motstykket av sparing/investering i vår makromodell - alt vi ikke sparer går til konsum, og alt vi ikke bruker til konsum er definert som investering.

    Så vi kan skrive:

    $$c=(1-s)y$$

    Og i stasjonærtilstand blir det:

    $$c^* = (1-s)y^*$$ $$c^*=(1-s)A(\frac{As}{d})^{\frac{a}{1-a}}$$

Sparing og produksjon

Nå skal vi se litt nærmere på rollen sparing har i Solow-modellen.

Trykk på øk s knappen, som vil øke spareraten. Det vi ser er at investeringskurven skifter oppover siden en høyere sparingsraten fører til mer investering.

På kortsikt får vi da en periode med økonomisk vekst, mens vi flytter til en ny, høyere produksjonsnivå i stasjonærtilstand.

Men legg merke til at i denne modellen, så har sparing ingen effekt på langsiktig vekstraten (vekst i stasjonærtilstand)--det forblir 0!

Hva måtte vi gjøre for å få økonomien til å vokse kontinuerlig i denne modellen? Vi ville måtte kontinuerlig øke spareraten fram til at vi nesten ikke hadde konsum. Dette er åpenbart ikke optimalt.

For å få til kontinuerlig økonomisk vekst så trenger vi noe annet i modellen--teknologisk utvikling, som vi snakker om i neste forelesning.

Optimal konsum og den gylne regelen

Vi har sett at vi kan opp til et viss punkt øke produksjon (BNP) ved å øke investering via økt sparing og dermed øke kapitalbeholdningen.

Men målet er ikke økt produksjon for sin egen skyld. Vi vil ha økt produksjon for å kunne ha høyere konsum. Hvis vi har høy produksjon, men hvis vi bruker alt den produksjonen til å investere og aldri egentlig for dra nytte av vår produksjon, så er er det en litt dårlig kombinasjon.

Vårt mål burde derfor være å velge en sparerate, s, så at vi maksimerer vår langsiktig konsum - det vil si konsum i stasjonærtilstand.

I figuren over viser en illustrasjon. Spareraten, s, er på horisontale-aksen og konsum per arbeider er på venstre den vertikale aksen. Vi ønsker å ha en spareraten så at vi ender opp på toppen.

Som illustrasjon, har vi USA som de siste ti-årene har hatt en veldig lav sparerate, kunne kanskje oppnå høyere BNP og mer konsum ved å øke spareraten.

Kina, som har hatt en tendens til å overinvestere i visse industrier (energi, transport, osv) og har mye overkapasitet kunne kanskje hatt en mindre sparerate og brukt mer av BNP på konsum.

Men hvordan finner vi optimal konsum i vår solow modell?

Figuren over viser en stasjonærtilstand med solow modell. Du kan trykke Øk s for å øke spareraten og få en ny stasjonærtilstand.

Den orange linjen viser konsum i stasjonærtilstand. Det er forskjellen mellom total produksjon, og produksjonen som går til å erstatte utslitt kapital (kapitalslitkurven).

Trykk Øk s fram til det ser ut som konsum er maksimert.

Legg merke til den tangentlinjen (i lilla) som viser helningen av produktfunksjonen - helningen av produktfunksjonen nærmer seg helningen av kapitalslitlinjen (svart) når konsum nærmer seg en maksimum--dette er faktisk betingelsen for optimal sparerate!

Helningen av produktfunksjonen kan tolkes som marginalproduktet av kapital (MPK)--det vil si hvor mye mer produsjon får vi ved å ha litt mer kapital.

Hvis MPK er høyere enn kapitalslitraten (helningen av kapitalslitlinjen) så kan vi øke vår kapital og få høyere konsum--fordi økningen vi får i produksjon er høyere enn den økte investeringen vi trenger til å erstatte kapitalsliten. Og det betyr at vi har mer å bruke på konsum.

Vi vil derfor fortsette å øke vår sparerate (og dermed investering og dermed kapitalbeholdning under stasjonærtilstand) fram til helningen av produktfunksjonen (MPK) er lik helningen av kapitalslitlinjen. Her er det sånn at en liten økning i kapital vil føre til en økning i produksjon som blir totalt spist opp av økt kapitalslit. Vi får ingen mer i konsum.

Hvis vi fortsette å øke sparing så at helningen av produktfunksjonen blir mindre enn kapitalslitlinjen, så må vi egentlig bruke mer til å erstatte nedslitt kapital enn vi får tilbake i økt produksjon. Derfor har vi mindre til å bruke til konsum i stasjonærtilstand.

Den gylne regelen

Vi kan derfor nå fortelle hva "den gylne regelen" er for optimal konsum i en enkel Solow-modell:

$$MPK = d$$

Der d er kapitalslitraten og \(MPK=\frac{\partial{AF(k_t)}}{\partial{k_t}}\)

Dynamisk effisiens

La oss si at et land har en for lav sparerate. De ønsker å oppnå høyere konsum på langsikt. Men for å oppnå det så må de spare mer nå og derfor ha mindre konsum. Man gir opp konsum nå for å få mer konsum senere. Dette er det som heter dynamisk effisiens.

Figuren over viser dynamikken av en sånn endring i økonomisk politikk. Konsum starter på nivået c1. På den horisontale aksen teller vi tid, og vi øker vår sparerate på t0. Først går konsum ned siden vi øker sparing. Men da begynner vi prosessen med å øke kapitalbeholdningen og dermed øke produksjonen. Vi får gradvis mer og mer konsum fram til vi når vår ny stasjonærtilstand med \(c_{gold}\) med konsum.

Hvordan ville figuren sett hvis vi begynte med for høy sparing?

Da ville de kortsiktige og langsiktige effektene av å redusere sparing på konsum gå i samme retning--konsum vil bevege seg mot \(c_{gold}\).

    Oppgaver II

  1. Anta at produksjonsfunksjonen kan skrives:

    $$Y=\frac{1}{2}\sqrt{K}\sqrt{L}$$ Hva blir stasjonærtilstandbetingelsen når man har depresieringsraten, d og sparingsraten, s?

    Vi begynner med vår ligning for at investering=kapitalslit (stasjonærtilstand):

    $$sy_t - dk_t = 0$$ $$sy_t = dk_t$$ $$s*0,5*\sqrt{k_t} = dk_t$$ $$\frac{s 0,5}{d} = \frac{k_t}{\sqrt{k_t}}$$ $$\frac{s 0,5}{d} = \sqrt{k_t}$$ $$k_t^* = (\frac{s 0,5}{d})^2$$

  2. Hva er formelen for produksjon i stasjonærtilstand per arbeidstaker? Hva er formelen for konsum per arbeidstaker, c?

    $$y^* = 0,5 \sqrt{k^*}$$ $$y^* = 0,5 \sqrt{(0,5*s/d)^2}$$ $$y^* = 0,25 s/d$$ $$c^* = y^* - dk^*$$

    Konsum er likt produksjon, menus investering som behøves til å erstatte nedslitt kapital

    $$c^* = 0,25s/d - d*(0,5*s/d)^2$$ $$c^* = \frac{s(1-s)}{4d}$$

  3. Hva er den optimal spareraten (gylden regel)?

    Fra svaret over, får vi ligning av konsum, c som funksjon av s, som vi da vil maksimere.

    $$C(s) = \frac{s(1-s)}{4d}$$ $$C(s) = \frac{s-s^2}{4d}$$ $$C'(s) = \frac{1-2s}{4d} = 0$$ $$s_{gold}=0,5$$

  4. La oss si at over tid så har (laste)biler blitt mer driftssikker og varig. Det vil si at vår kapitalbeholdning besto hovedsakelig av kjøretøy, så ville depresieringsraten senke. Hvordan ville dette påvirke vår kapitalbeholdning og produksjon i stasjonærtilstand?

    Figuren under viser effekten av å senke kapitalslitsraten, d.

    Siden depresieringsraten senker, så går mer av investeringen til å bygge oppe mer kapital (isteden for å erstatte nedslitt kapital (gamle biler)). Vi øker kapitalbeholdning, og derfor produksjon til vi kommer fram til en ny stasjonærtilstand.