Produksjon, kostnader og tilbud

"Production Hell": Tesla, voksesmerter og livet på marginen.

Model 3 var sett som en "make or break" bil for Tesla. Det skulle være den første bilen som kunne appellere til massemarkedet, med en prislapp som var lovet til å være under 35.000 dollar (circa 300.000 kr.)for basis modellen.

Elbiler er generelt dyrere enn bensin eller diesel biler hovedsakelig på grunn av baterikostnaden, selv om bateriene har kommet veldig mye ned i pris de siste 10 årene.

På den andre siden er elbiler enklere med færre deler og kunne, i teori, være lettere og fortere å produsere.

Men den lave prislappen som Elon Musk hadde lovet for Model 3 var avhengig av en storskala produksjon og en kjapp økning i produksjonskapasiteten.

Men alt gikk ikke etter plan.

Fabrikken skulle være mest mulig automatisert, med mest mulig bruk av robotiske systemer.

Men det dukket fort opp problemer med produksjonsrobotene som skapte flaskehalser i produksjonen.

For å nå produksjonsmålene så måtte arbeiderne jobbe overtid og de måtte også ansette en rekke arbeidere på midlertidige kontrakter.

De måtte til og med sette opp en produksjonlinje i en telt utenfor hovedbygget i fabrikken.

Alt dette kostet penger, og enhetskostnadene av de første Model 3 bilene som ble produsert var skyhøye.

Tesla tapte penger for hver bil de solgte.

Men etter hvert fikk Tesla kontroll på sine produksjonsproblemer og kunne øke produksjonskapasiteten og få ned enhetskostnadene. De klarte å finne en bedre balanse mellom menneskekraft og automatisering. Og kanskje viktigst av alt, lærte de av sine feil, og de kunne begynne prosessen av å forbedre produksjonsprosessen for å drive ned enhetsprisen.

Denne delen av tesla's historie handler om avveiningene mellom arbeidskraft og kapital, og hvordan kostnad er relatert til produktivitet.

I denne forelesningen skal vi se hvordan en mikroøkonom ville analysert og modellert sånne situasjoner.

Modellen som vi skal analysere er best sett som en modell på kortsikt, der det kan være dyrt å øke produksjon - dette speiler situasjonen i Tesla, der marginalkostnaden av å øke produksjon var høy på kort sikt, men etterhvert klarte de å øke produksjon og få ned kostnadene.

Det er verdt å legge merke til at vi ser bort fra faste kostnader i denne forelesningen - vi skal kun se på variable kostnader.

Marginalproduktivitet

Produktfunksjonen, igjen

Her har vi igjen tegnet en produktfunksjon med avtagende skalautbytte.

Men nå generaliserer vi innsatsfaktorene enda mer. Nå har vi bare en innsatsfaktor: v, som vi kaller ressursinnsats

Vi kan tenke på v som en samlet enhet av resursene vi trenger.

For Tesla, så ville det vært en kombinasjon av arbeidere, roboter og fabrikkmaskiner, osv.

I motsetning til vår modell med kapital og arbeidskraft, har vi avtakende skalautbytte i disse samlet resurssinnsatsene.

Vi kan kanskje tenke på det som en kortsiktig produksjonsmodell, der visse deler av kapitalen er fast (som selve fabrikk-lokalene)

Marginalproduktivitet

Et viktig begrep er marginalproduktivitet. Dette er ideen at man vil måle hvor mye ekstra produksjon man kan få ved å legge inn litt ekstra resurser

I vår tidligere produksjonsmodell, så vi på arbeidsproduktivitet - hvor mye ekstra produksjon fikk vi ved å ansette en til.

Her er det litt mer abstrakt: hvor mye produksjon får vi ved å øke våre resurssinsats med 1 enhet: Kanskje det er en arbeider og en maskin + noen råmaterialer. Eller kanskje vi bare måler det i dollar eller kroner: en ekstra dollar med innsatts - hvor mange dollar med produksjon får vi?

Vi kan se hvorfor dette er viktig allerede - hvis kostnaden av å øke produksjonen er høyere enn det vi får for vår produkt, så burde vi ikke produsere mer.

Helningsgraden av den grønne linjen som går gjennom produksjonspunktet representerer marginalproduktivitet

Hvis du trykker på Øk resursinnsats så ser du at vi tilnærmet beveger oss opp den linjen - hvis vi øker vår resursinnsats med en, forskjellen i hvor mye vi produserer er vår marginalproduktivitet

Legg merke til at på det nye punktet har vi en ny, lavere marginalproduktivitet.

Hvis vi vil øke resursinnsatsen igjen, så får vi mindre marginalproduktivitet.

Dette er på grunn av den avtakende skalautbytten som vi har tegnet inn i vår modell.

Matematisk, hvis vi skriver produksjon som \(y=f(v)\), så kan vi skrive marginalproduktivitet som

$$\frac{dy}{dv} = f'(v) \approx f(v+1)-f(v)$$
Gjennomsnittsproduktivitet

Gjennomsnittsproduktivitet er ideen at du skal ta hele din produksjon og dele det med hvor mye resurser har gått inn i det totalt. Det vil gi et gjennomsnittstall for hvor produktivt vi er.

Vi kan da skrive gjennomsnittsproduktivitet som \(\frac{y}{v}\)

Hvis du trykker på Gjennomsnittsprod. så viser de røde linjene lengdene (v0, y0) som brukes til å beregne gjennomsnittsproduktivitet \(\frac{y0}{v0}\)

Vinkelen på den røde stiplet kurven er da vår gjennomsnittsproduktivitet

Ved å sammenligne den røde stiplet linjen og den grønne stiplet linjen kan du sammenligne gjennomsnitlig produktivitet og marginalproduktivitet over ulike verdier av v.

Kostnadsfunksjonen

Kostnadsfunksjonen

Kostnadsfunksjonen er egentlig bare en transformasjon av vår produktfunksjon.

Vi speilvender (eller inverterer) vår produktfunksjon, så at produksjon (y) er på horisental-siden og ressursinnsats (v) er på vertikal-siden.

Nå kan vi tolke det som: Gitt en ønsket produksjon, hvor my ressursinnsats trenger vi? Hvis vi ønsker å produsere 50.000 biler i året, hvor mye resurrser trenger vi?

Alt som gjenstår er å oppgi en pris på våre ressursinnsats

Marginalkostnaden

Hvis du trykker på Øk produksjon så kan vi tolke endringen i kostnad (C) som marginalkostnaden: hvor mye kostnaden øker når vi øker produksjon med 1 (eller med veldig lite).

Matematisk, kan vi skrive:

$$\frac{dC}{dy} = C'(y) \approx C(y+1)-C(y) $$

Hvis du trykker på Øk produksjon flere gangner kan du se at marginalkostnaden øker. Det koster mer og mer for hver ekstra tesla vi produserer. Er dette realistisk?

Husk at vi kan tenke på disse figurene som kortsiktig. Gitt de eksisterende fabrikkene, vil det koste mer og mer for hver ekstra bil vi ønsker å produsere. Vi må betale våre arbeidere ekstra for å stå lengre dager på jobb. Utstyret blir fortere slitt, osv.

Vi kan tenke på dette som "production hell" som Tesla gikk gjennom når de skulle oppskalere sin produksjon av Model 3.

På lengre sikt, vet vi at produsenter kan få ned sin gjennomsnittskostnad ved å produsere med stor skala. Dette kommer vi tilbake til.

Gjennomsnittskostnad

Trykk på gjennomsnittskostnad

Her ser vi at vi kan regne ut gjennomsnittskostnad (eller enhetskostnad) ved å dele totale kostnadene ved total produksjon. Dette forteller oss: I gjennomsnitt hvor mye kostet hver bil.

Matematisk kan vi skrive dette som: \(\frac{C(y)}{y}\)

Helningene på den røde stiplet linjen representerer gjennomsnittskostnaden. Ved å sammenligne med den grønne linjen, der helningen representerer marginalkostnad, kan vi se at marginalkostnaden vil være høyere en gjennomsnittkostnaden i denne modellen - hvorfor det?

Grunnen er at marginalkostnaden øker for hver bil vi produserer i denne modellen.

Profitfunksjonen og Tesla's ramp-rate

Profitt og hvor mye man skal produsere

Vi kan bruke modellen og den marginale-tankegangen til å bestemme hvor mye vi skal produsere.

Først må vi være enig om et mål: Vi ønsker å maksimere vår profitt.

Figuren viser tre kurver.

Hvor mange biler skal vi produsere?

Vi kunne prøvd å produsere så mange biler som mulig mens vi fortsatt har positiv profitt, men da ville vi endt opp med 0 i profitt.

Trykk på øk produksjon fram til vi er på toppen av profitt-kurven: Dette er hvor vi maksimere produksjon.

Vi har også tegnet inn vår marginalkostnads-linje: Den grønne stiplet linjen.

Det er litt vanskelig å se, men en ting man kan legge merke til er at helningen av denne linjen er likt helningen av vår omsetningskurv. Er dette et tilfelle?

NEI! Helningen av vår omsetningskurve er markedsprisen, p! Det er også vår marginalomsetning: hvor mye ekstra vi får i omsetning av å selge en til bil.

Vår profitt-maksimering regel er følgende: Fortsett å øke produksjonen så lenge det man tjener på å lage og selge en til bil er større en (marginal-)kostnaden av å lage en ekstra bil!

Vi kan også skrive dette matematisk ved å skrive ut vår profittfunksjon:

$$Maks \pi(y) = p*y - C(y)$$ $$\frac{d \pi}{dy} = p - C'(y) = 0$$

Maksimum profitt skjer når: \(p=C'(y)\)

Quiz

Oppgaver

  1. Vi har en Cobb-Douglas produktfunksjon med følgende spesifikasjoner:

    $$Y=10*v^{0,5}$$

    a.) Hva er produksjonen når v=10 og v=11? Hva er forskjellen i produksjon mellom v=10 og v=11?

    b.) Hva er marginalproduktivitet når v=10? Og når v=20?

    c.) Hva er gjennomsnittsproduktivitet når v=10 og når v=20? Er det mindre eller større en marginalproduktivitet. Kan du forklare hvorfor?

    a.)

    Når v=10, så er produksjon: \(10*10^{0,5} = \)

    Når v=11, så er produksjon: \(10*11^{0,5} = \)

    Forskjellen i produksjon er

    Legg merke til at dette er vår tilnærmet marginalproduksjon: hvor mye mer produksjon vi får ved å øke vår innsatsfaktor med litt.

    b.)

    Vi kan ta derivaten av vår produktfunksjon:

    $$f'(v) = 0,5*10*v^{-0,5} = 5*v^{-0,5}$$

    Da setter vi inn 10 og 20 og får:

    \(5*10^{-0,5}= \)

    \(5*20^{-0,5}= \)

    Dette er våre eksakt svar på marginalproduksjon der vi bruker derivaten. Legg merke til at svaret for v=10 er ganske nært det vi fant i a.) (det omtrentlige svaret).

    Legg også merke til at marginalproduksjonen går ned når v øker. Dette er på grunn av at vår produktfunksjon har avtakende skalautbytte

    c.)

    For å finne gjennomsnittsproduksjon gitt en innsatsfaktor \(v^1\), må vi bare dele produksjonen med v: \(\frac{f(v^1)}{v^1}\). Så da kan vi regne ut:

    \(\frac{f(10)}{10}=\)

    \(\frac{f(20)}{20}=\)

    Ved å sammenligne med b.) kan vi se at gjennomsnittsproduktivitet er høyere en marginalproduktivitet--detter på grunn av avtagende skalautbytte.

  2. a.)La oss si at prisen på innsatsfaktoren er \(q=1\), skriv en kostnadsfunksjon basert på produksjonsfunksjonen i oppgave 1.

    b.) Hva er marginalkostnad når produksjon er y=25 og y=50?

    c.) Hva er gjennomsnittskostnad når y=25 og y=50?

    a.) Vi starter med vår produktfunksjon:

    $$y=10*v^{1/2}$$

    Så vil vi skrive det om så at v er på venstre siden:

    $$v^{1/2} = \frac{y}{10}$$ $$v=(\frac{y}{10})^2$$

    Kostnad er pris gange mengde: q*v, så vi kan skrive:

    $$C = qv = q*(\frac{y}{10})^2 = 1*(\frac{y}{10})^2 = (\frac{y}{10})^2$$

    b.)

    Marginalkostnad kan vi finne ved å ta derivaten av kostnadsfunksjonen:

    $$C'(y) = 2*\frac{y}{10} = \frac{y}{5}$$

    Og da setter vi inn vår verdier av y:

    \(\frac{25}{5}=5\)

    \(\frac{50}{5}=10\)

    Her ser vi at marginalkostnaden har økt. Så at det vil koste 5 til å produsere en til når man produserer 25, men det vil koste 10 til å produsere en til når man produserer 50. Dette kommer fra avtagende skalautbytte av vår produktfunksjon som sier at vi trenger mer og mer innsatsfaktor for å produsere en til i produksjon jo høyere produksjon er.

    c.)

    For å finne gjennomsnittskostnad, må vi dele total kostnad med mengde produksjon.

    \(\frac{C(y)}{y}=\frac{(\frac{y}{10})^2}{y}=\frac{y}{100}\)

    \(\frac{25}{100} = 0,25\)

    \(\frac{50}{100} = 0,50\)

    Her ser vi at gjennomsnittskostnaden er lavere er marginalkostnad.

  3. Anta at vi har kostnadskurve som i oppgave 2.

    a.)La oss si at markedsprisen for vår produkt er 2, hvor mye burde vi produsere?

    b.)Nå øker markedsprisen til 3, hvor mye burde vi produsere nå?

    a.) Hvis vi ønsker å maksimere profitt så vil vi maksimere profitt-ligning:

    $$\pi(y) = p*y-C(y)$$

    Vi setter inn vår kostnadsfunksjon

    $$\pi(y) = p*y-(\frac{y}{10})^2$$

    Maksimum er der marginalprofitt er likt null (der det å produsere en til vil føre til 0 i ekstra profitt)

    $$\pi'(y) = p-\frac{y}{5}=0$$

    Vår betingelse for maksimum er derfor:

    $$p=\frac{y}{5}$$

    (marginalkostnad er likt pris)

    Så når pris er 2:

    \(2=\frac{y}{5}\)

    y=10

    b.)Når p=3:

    \(3=\frac{y}{5}\)

    y=15, vi øker produksjon når vi får en høyere pris (legg merge til at dette er i tråd med et tilbudskurve med en positiv helning.)