Produksjonsressurser og kostnadsminimering

Roboter eller mennesker?

Kilde: Tesla Annual Report

Når Tesla skulle begynne produksjon av sin storskala Model 3, hadde de tenkt å bruke roboter og automatisering til en veldig høy grad - høyere enn de tradisjonelle bilprodusentene. På den måten skulle de klare å øke produktiviteten av sin fabrikk og få ned kostnaden.

Men, som vi har diskutert, det fungerte dårlig og Tesla opplevde en periode med store problemer og høye kostnader.

Til slutt innså Tesla at de hadde vært for aggressiv i å automatisere. Det var deler av produksjonen der menneskekraft fortsatt var bedre egnet. Tesla kunne få høyere produksjon og lavere kostnader med å bytte ut noen maskiner for noen flere mennesker.

I denne forelesningen skal vi se nærmere på denne problemstillingen: når man ønsker å nå et viss produksjonsmål, hva er den beste kombinasjonen av innsatsfaktorer? Og her skal vi definere best som den kombinasjonen av innsatsfaktorene som gir lavest kostnad til å produsere en viss mengde.

Vi skal se at i våre mikroøkonomiske modeller vil det ofte være at den laveste-kostnad produksjonen er ofte den som bruker en god miks av innsatsfaktorer - både mennesker og roboter.

Men modellene vil også vise at når robotene etterhvert blir bedre og billigere, så vil man bruke de mer og mer.

Isokvantkurven

Fram til nå har vi gjort en ekstrem forenkelse om hvordan en bedrift bestemmer hvilke og hvor mange arbeidere de ansetter, hvilke investeringer i kapital de gjør, og hva slaks andre resurser de kjøper inn. Vi har bare antatt at bedriften øker en viss mengde "faktorinnsats" for å øke produksjon.

Nå skal vi grave litt dypere inn i disse avgjørelsene, og vi skal bruke noe vi skal kalle "isokvant-" og "isokost-kurver."

Figuren viser en isokvantkurve. Det virker kanskje kjent, og det er fordi dette er nesten helt likt indifferensekurven som vi så i forelesninger 3-8.

Indifferensekurven skulle modellere en forbrukers preferanser mellom to varer gitt en viss nytte.

Isokvantkurven representer en viss produksjon, der man kan velge mellom ulike kombinasjoner av faktorinnsats for å nå den produksjonen.

Den røde kurven representerer derfor et mål på hvor mange Teslaer som skal produseres. For å nå det målet, må man velge ulike kombinasjoner av roboter (kapital) og arbeidere

Trykk på Øk produksjon så ser du at isokvantkurven beveger seg utover.

Substitusjon og kapitalintensitet

Når vi modellerte våre konsum-preferanser med indifferenskurven hadde vi ofte en antakelse at vi ønsket en miks av varer. Dette førte til en krumming av indifferenskurven.

Det samme gjelder vår isokvant: vi går ut i fra at en god miks av innsatsfaktorer kan gi mest produksjon.

I figuren viser to punkter som representerer to ulike kombinasjoner av arbeidere og roboter: Tesla og Ford. Begge ligger på samme isokvant, så det vil si begge produserer akkurat samme antall biler.

Tesla har flere roboter og færre arbeidere - de har valgt en mer kapitalintensiv produskjon som fører til en høyere grad av automatisering.

Ford har valgt en kombinasjon med flere mennesker og som er mindre kapitalintensiv, som gir mer fleksibilitet.

Her ser vi at roboter og arbeidere er substituter - vi kan bytte noen av den ene for noen av de andre.

Helningen av den grønne linjen representerer substitusjonsmuligheten - det vil si, hvor mange mennesker kan en robot erstatte for å bli værende på samme produskjsonnivå. Når vi snakker om en slik produksjonsproblem, så kaller vi substitusjonsmuligheten mellom faktorene for den tekniske substitusjonsbrøken (TSB).

Trykk på Øk roboter et par ganger. Vi ser at jo nærmere vi kommer til Tesla-nivåer av roboter, jo brattere blir substitusjonsmulighetene.

Dette var litt av det som Tesla opplevde - jo mer ekstrem man går i retning av å erstatte alle mennesker, jo vanskeligere det ble. Til slutt, måtte de innrømme at de trengte flere mennesker for å opprettholde produksjonsmålene (ihvertfall på kort sikt).

Kostnader og budsjetter

Akkurat som når vi modellerte konsumentens beslutning, så er prisene på innsatsfaktorene og bedriftens budsjett avgjørende for valg av produksjonsnivå og miksen av innsatsfaktorene. Vi modellerer derfor dette også likt med en budsjettkurv, som vi nå kaller isokostkurv.

Linjen representerer alle mulige kombinasjoner av roboter (kapital) med pris q og arbeidere med lønn w som vi kan bruke til vår produksjon med en viss budsjett, m.

Området i lyseblå representerer alle mulige kombinasjoner der vi kommer under budsjettet

Trykk på Øk budsjett, her ser vi at hele isokostkurven flytter seg ut - nå har vi råd til å kjøpe inn flere roboter og ansette flere arbeidere.

Trykk på Øk lønn et par ganger. Her ser vi at når lønn blir høyere, så har vi råd til å ansette færre arbeidere

Trykk på Øk robotpris et par ganger. På samme måte, ser vi nå at vi har råd til å kjøpe inn færre roboter.

Kostnadsminimering

Nå skal vi sette sammen isokostkurven med isokvantkurven for å finne et punkt der vi kan produsere en gitt mengde med lavest mulig kostnad.

I figuren starter vi på et punkt langs isokvantlinjen der vi har veldig mange roboter (kapital) men veldig få arbeidere.

Trykk på Øk arbeidere: Som vi har sett før, så er det høy substitusjonsmuligheter mellom roboter or arbeidere. Ved å bare ansette noen få ekstra arbeidere, så kan vi likevel opprette holde samme produksjon samtidig som vi kvitter oss med mange dyre roboter.

Vi kan fortsette å trykke på Øk arbeidere fram til punktet ligger nær isokostkurven (budsjettlinjen).

Legg merke til at helningen av den grønne linjen har nå blitt slakere. Vi må gi opp færre roboter for å ansette flere arbeidere mens man opprettholder samme produksjonsnivå.

En av betingelsene for vår kostnadsminimum kommer når helningen av den substitutsjonsmulighetslinjen (TSB, den grønne linjen) er det samme som vår isokostlinje (budsjettlinjen). Hvorfor?

Husk at helningen av isokostkurven (budsjettlinjen) er bestemt av de relative prisene av de to innsatsfaktorene (prisen på roboter og lønn: -q/w)

La oss da si at helningen av vår substitutsjonsmulighetslinje er mer enn helningen av isokostkurven. Da vet vi at vi kan spare penger ved å bytte ut en maskin (og selge det for q) for noen flere arbeidere (som vi betaler lønn w) mens vi opprettholder samme produksjonsnivå.

Men når vår substitusjonsmulighet for å bytte arbeidere for roboter blir akkurat lik de relative prisene q/w, så kan vi ikke lenger spare penger ved å bytte ut roboter for arbeidere. Dette er vår kostnadsminimum.

Nå at vi har nådd vår minimum, ser vi at vi kan likevel ikke nå vår produksjonsmål gitt vår budsjett for innsatsfaktorer. Vi kan trykke Øk budsjett fram til isokvantkurven så vidt er på budsjettlinjen. Dette er vår punkt med minimale kostnader gitt vår produksjonsnivå. Det finnes ingen andre kombinasjon av innsatsfaktorer som vil gi oss vår ønsket produksjon for mindre kostnader.

Du kan sjekke svaret ved å trykke på Minimere kostnader

Kostnadsminimering: Matematisk

Vi kan skrive totale produksjonskostnader:

$$C(L,K)=wL + qK$$

Der L representerer arbeidskraft, K er kapital (roboter), w er lønn (prisen på arbeidskraft) og q er leieprisen for kapital.

Hvis vi holder C konstant så har vi en formula for vår isokostkurv.

Vi kan skrive det om som:

$$K=\frac{C}{q} - \frac{w}{q}L$$

Vi kan skrive vår produktfunksjon i generell form som:

$$y=f(L,K)$$

Vi tolker dette som at produksjon er avhengig av en kombinasjon av innsatsfaktorene (arbeidskraft og kapital).

Akkurat som med vår nyttefunksjon/indifferenskurve som vi så tidligere, så kan vi gi ulike matematiske former til vår produktfunksjon. For eksempel, vi kan skrive vår produktfunksjon i Cobb-Douglas form:

$$y=f(L,K) = AK^aL^b$$

Marginalproduktivitet til arbeidskraft eller kapital betyr hvor mye mer produksjon vi kan få hvis vi øker litt i enten arbeidskraft eller kapital.

Vi regner ut marginalproduktivitet ved å ta derivaten av vår produktfunksjon.

Marginalproduvktivitet til arbeidskraft er da:

$$f_L(L,K) = \frac{\partial f(L,K)}{\partial L}$$

Hvis vi har en Cobb-Douglas form til vår produktfunksjon så blir det:

$$f_L(L,K) = b*AK^a*L^{b-1} = \frac{bAK^a}{L^{1-b}}$$

Marginalproduktivitet til kapital er:

$$f_K(L,K) = \frac{\partial f(L,K)}{\partial K}$$

Med en Cobb-Douglas blir dette:

$$f_K(L,K) =a*AK^{a-1}L^b = \frac{aAL^b}{K^{1-a}}$$

Den tekniske substitusjonsbrøken (TSB) (helningen av vår isokvant kurve) kan vi skrive som:

$$TSB = \frac{f_L}{f_K}$$

Med en Cobb-Douglas form blir dette:

$$TSB= \frac{f_L}{f_K} = \frac{b*AK^a*L^{b-1}}{a*AK^{a-1}L^b} $$ $$ = \frac{bK^a*K^{1-a}}{aL^b L^{1-b}} = \frac{bK}{aL}$$

Kostnadsminimering

For å finne vår kostnadsminimum gitt en viss produksjon, y, har vi to betingelser:

  1. At helningen av isokostkurven (faktorprisforholdet, w/q) er likt helningen av isokvantkurven (TSB):

    $$ \frac{f_L}{f_K} = \frac{w}{q}$$

    Eller med en Cobb-Douglas produktfunksjon:

    $$\frac{bK}{aL} = \frac{w}{q}$$

  2. Og da må vi sikre at vi er på isokvantlijne:

    $$y=f(L,K)$$

    Eller med en Cobb-Douglas:

    $$y=AK^aL^b$$

Med disse to ligningene har vi to ukjente \((K, L)\), og vi kan finne vår minimumsverdier.

Quiz

Oppgaver

  1. Vi har en produktfunksjon for biler som vi kan skrive:

    $$y=K^{0,5}L^{0,5}$$

    Og vi skal klare å produsere 100 av våre biler

    Lønn er \(w=1\) mens prisen på kapital (produksjonsroboter) er \(q=1,5\)

    a.) Hva er TSB?

    b.) Hvor mange produksjonsroboter (K) og arbeidere (L) skal vi bruke for å oppnå vår produksjonsmål med et minimum av kostnad.

    c.) Arbeiderne klarer å forhandle fram bedre lønnsvilkår, så at lønn har økt til \(w=1,5\). Hvor mange roboter (K) or arbeidere (L) vil bedriften bruke nå? Hvor mye ekstra koster det bedriften? Hva har skjedd med antall arbeidere i bedriften

    a.)Vi definerer TSB som:

    $$TSB = \frac{f_L}{f_K}$$

    Der

    $$f_L = 0,5K^{0,5}L^{-0,5}$$ $$f_K = 0,5K^{-0,5}L^{0,5}$$ $$TSB = \frac{f_L}{f_K} = \frac{0,5K^{0,5}L^{-0,5}}{0,5K^{-0,5}L^{0,5}}$$ $$= \frac{K^{0,5}K^{0,5}}{L^{0,5}L^{0,5}} = \frac{K^{0,5+0,5}}{L^{0,5 + 0,5}} = \frac{K}{L} $$

    b.) Vår optimumsbetingelser er at:

    $$TSB=\frac{w}{q} => \frac{K}{L} = \frac{1}{1,5}$$ $$K=\frac{2}{3}L$$

    Og vi må sikre at vi når vår produksjonsmål:

    $$y=K^{0,5}L^{0,5}$$ $$100=(\frac{2}{3}L)^{0,5}L^{0,5}$$ $$100=(\frac{2}{3})^{0,5}L^{0,5}L^{0,5}$$ $$100=(\frac{2}{3})^{0,5}L^{0,5+0,5} =(\frac{2}{3})^{0,5}L $$ $$L^* = \frac{100}{(2/3)^{0,5}}$$ $$L^* \approx 122,5$$

    Da setter vi \(L^*\) i vår optimumsbetingelse igjen:

    $$K^* = \frac{2}{3}L^* \approx 81,6$$

    c.) Eneste vi endrer her er faktorprisforholdet som nå er:

    $$\frac{w}{q} = \frac{1,5}{1,5} = 1$$

    Tangeringsbetingelsen blir da:

    $$\frac{K}{L} = 1 => K=L$$

    Vi kan sette dette tilbake i vår produktfunksjon:

    $$y=K^{0,5}L^{0,5}$$ $$y=L^{0,5}L^{0,5}$$ $$100 = L^*$$ $$K^* = 100$$

    Opprinnelig hadde vi totale kostnader av:

    $$C=wL+qK = 1*L+1,5K = 122,5 + 1,5*81,6 \approx 245$$

    Nå har vi kostnader av:

    $$C = 100*1,5 + 100*1,5 = 300$$

    Kostnadene har økt med 55

    Legg også merke til at vi har redusert antall ansatte vi bruker med circa 22,5, og økt antall roboter (kapital) vi bruker med circa 18,4

    Når prisen på arbeidskraft øker (lønn øker), så bytter bedriften fra arbeidskraft til kapital.

  2. Produksjonssjefen for et bilselskap har fått oppdrag av å øke produksjonen av biler med 50%. Han ønsker å gjøre dette ved å øke automatiseringen i fabrikken, så at han ikke må ansette flere. Du er leid inn som konsulent. Ut i fra vår mikroøkonomisk modell, hva ville dit råd være til produksjonssjefen?

    3. Her er det selvsagt mange mulige svar som kan variere basert på antakelser. For eksempel, kanskje fabrikken er i lite grad automatisert (det vil si, at vi ligger i utgangspunkt på en sub-optimal punkt), da ville det lønnet seg å øke automatiseringen.

    Men la oss si at vår utgangspunkt er der vi har en optimal kombinasjon av arbeidskraft og kapital (roboter/automatisering). Hvis vi ønsker å øke produksjon til lavest mulig kostnad, så ville mikroøkonomisk teori si at vanligvis ville det være rimeligst å øke bruk av en kombinasjon av innsatsfaktorene - både mer kapital (roboter) og ekstra arbeidskraft. Å bare satse på ekstra automatisering (K) vil ofte føre til sub-optimal løsning.