Skalautbytte og tilbudskurver

Fra Voksesmerter til storskala

I forrige forelesning snakket vi om hvordan Tesla møtte problemer når de skulle øke produksjonen av sin Model 3 og at de endte med høye marginalkostnader for de første bilene som ble produsert.

Samtidig, vet vi at Tesla så det som helt nødvendig å kunne nå et storskalaproduksjonsnivå for å overleve.

Hvordan kan vi forene disse to tankene - at høyere produksjon førte til høyere enhetskostnader (marginalkostnader) samtidig som at man ønsker å oppnå storskalaproduksjon?

Løsningen blir å se på ulike tidsskala. På kort sikt var det dyrt å skalere opp gitt den fabrikken, maskinene og prosessene som de hadde på plass. De måtte betale overtid til sine ansatte, som kostet mer per time, og de måtte ansette flere på korttidskontrakt, som også førte til ekstra kostnader per bil produsert.

Men på lengre sikt kan man lære fra sine erfaringer, bygge nye fabrikker og optimere prosessene.

Samtidig kan man dele noen av de store fastekostnadene på flere biler. For eksempel, designkostnadene av å lage en ny bil er enorme i bilindustrien, og da trenger man storskalaproduksjon for å dele de kostnadene.

Tesla har altid forstått fordelene av storskala. I 2016 bygget de det som på den tiden var verdens største batterifabrikk i Reno Nevada.

Fra sin opprinnelig bilfabrikk i California, har de nå også bygget en stor produksjonsfabrikk i Kina nær Shanghai og de er i prosessen av å bygge en fabrikk nær Berlin i Tyskland. De skal også bygge en ny fabrikk i Texas i USA.

Tesla leder på batteri- og elmotor-teknologi, og ved å øke skala, kan de også presse ned prisene på sine biler, og denne kombinasjonen av bedre teknologi og lave priser kan være vanskelig å slå.

I denne forelesningen skal vi analysere produkjson på medium og lang sikt der vi antar at en bedrift klarer å øke produksjon uten at marginalkostnadene øker.

Vi skal også gjøre eksplisitt forbindelsen mellom å finne optimal produksjon fra en profittfunksjon og en bedrifts tilbudskurv.

Konstant skalautbytte

Konstant skalautbytte

Vi husker at med vår Cobb-Douglas produksjonsmodell med kapital (K) og arbeidskraft (L) (Forelesning 10) så modellerte vi at hvis man øker kapital og arbeidskraft proporsjonalt, så fikk vi konstant skalautbytte. Hvis vi fordoblet både antall arbeidere og kapital, så kunne vi fordoble vår produksjon--gang på gang på gang.

I figuren over viser en enkel modell av konstant-skalautbytte med en samlet resurrsinnsats (v)--bare en rett linje

En måte å tenke på konstant skalautbytte er at det er produksjon som er på litt lengre sikt. Vi har tid til å kjøpe nye maskiner og kanskje til og med bygge nye fabrikker samtidig som vi ansetter flere folk for å jobbe i disse fabrikkene.

Modellen kan skrives enkelt \(y=A*v\) der A representerer produktivitet (før har vi kalt det total faktorproduktivitet, men her har vi bare en innsatsfaktor, så det er ingen skille mellom produktivitet og total faktorproduktivitet)

Vi begynner med A=1. Det betyr at med 100 i ressurrsinnsats får vi 100 i produksjon. Trykk på Øk resurssinnsats. Vi ser at når vi øker vår ressursinnsats, øker vår produksjon proporsjonalt (gange 1). Når vi øker ressursinnsats til 120, så får vi 120 i produksjon, osv.

Hva er vår marginalproduktivitet i så fall?

Det er A - øker vi ressursinnsats med 1, så får vi 1 til i marginalproduksjon.

Hva med gjennomsnittsproduksjon?

Trykk på gjennomsnittsprod.

Vi burde se tydlig at når vi har konstant skalautbytte så er det ingen skille mellom gjennomsnittsproduktivitet og marginalproduktivitet - begge er A.

Kostnadsfunksjonen

Kostnadsfunksjonen med konstant skalautbytte blir også enkelt

Vi husker at kostnadsfunksjonen er bare en transformasjon av produktfunksjonen: Vi speilvender funksjonen og deretter ganger med en pris på ressursinnsatsen.

Først kan vi invertere produksjonsfunksjonen:

$$y=Av =>v=\frac{y}{A}$$

Deretter gange med innsats-pris, q

$$C = q*\frac{y}{A}$$

Kostnadsfunksjonen har en enkel tolkning: jo mer produktiv vi er (A), jo lavere kostnad.

Marginalkostnaden og gjennomsnittskostnaden er også enkel til å beregne.

For å produsere en ekstra enhet produksjon, så trenger vi \(\frac{1}{A}\) ressursinnsats. Vi ganger det med prisen på ressursinnsatsen, q til å få marginalkostnaden: \(\frac{q}{A}\)

Igjen, med konstant skalautbytte er det ingen forskjell mellom marginalkostnad og gjennomsnittskostnad fordi marginalkostnaden er konstant!

Profittfunksjonen

Vi kan gjøre et siste skritt og lage en profittfunksjon basert på vår produksjonsfunksjon med konstantskala: alt vi trenger er en konstant pris på vår produksjon: p

$$\pi = p*y - C $$ $$\pi = p*y - \frac{q*y}{A}$$ $$\pi = (p-\frac{q}{A})*y$$

Det finnes en enkel tolkning her: for hver enhet (hver tesla, si) så får vi en konstant profitt prisen vi får på markedet menus den konstante enhets-kostnaden.

Tilbudskurven

Nå at vi har sett litt på hvordan vi kan tenke på både produksjon og kostnad fra en bedrifts side, så kan vi begynne å tenke litt dypere på hva en tilbudskurve er og hva det representerer.

Tilbudskurven representerer hvor mye produkt en bedrift (eller annen organisation eller til og med et enkelt menneske) er villig til å tilby på markedet for en gitt pris.

Det er da intuitivt at tilbudskurven er nært relatert en bedrifts kostnadsfunksjon og marginalkostnad begrepet.

Vi starter med den enkeleste produktfunksjonsformen: en med konstant skalautbytte.

Tilbudskurven med Konstant skalautbytte

En produktfunksjon med konstant skalautbytte betyr at kostnaden av å produsere litt ekstra er konstant, uansett hvor mye man produserer.

Tilbudskurven for en bedrift med konstant skalautbytte tegner vi som en vannrett linje som ligger på marginalkostnaden (q/A)

Så da kan vi spørre, hvor mye er en bedrift med en produktfunksjon med konstant skalautbytte er villig til å produsere og selge for ulike priser.

Første prinsippet er vel at man ikke ønsker å selge hvis det koster mer å produsere enn det man får for produktet. Så hvis prisen ligger under marginalkostnaden (som er konstant når produktfunksjonen har konstant skalautbytte), da vil produsere 0.

Hva om prisen er lik eller høyere enn marginalkostnaden?

Da er man villig til å produsere så mange markedet ønsker - kostnaden av å produsere hver bil er konstant, så så lenge prisen ligger på eller over marginalkostnaden, så vil man selge så mange som mulig.

Derfor er tilbudskurven under konstant skalautbytte en vannrett linje.

Tilbudskurven med avtakende skalautbytte

Vi husker fra forelesning 11 at med avtakende skalabutbytte, så fikk vi en marginalkostnadskurve som økte med produksjon: jo mer man produserte, jo mer det kostet å lage en til produkt (bil, for eksemepl.)

Vi kan tenke på dette som, for eksempel, en kortsiktig modell: gitt de fabrikkene som Tesla har, for dem å øke produksjonen på kort sikt, så må man begynne å betale overtid, betale mer for deler fra sine underleverandører, osv.

Så hvor mye skal man produsere og selge?

I forelesning 11 viste vi at hvis man skulle maksimere profitt, så skulle man produsere opptil punktet der marginalkostnaden var likt markedsprisen. Etter det, mister man litt penger for hver ekstra bil man produserer.

Dette er representert som punktet der prislinjen og marginalkostnadskurven krysser i den øverste figuren.

Nå, trykk på Øk pris. Når markedsprisen har økt, så er vi villig til å lage noen ekstra, selv om det betyr at kostnaden av å produsere de ekstra bilene er noe høyere. Vi tjener fortsatt penger på de ekstra bilene.

I den nederste figuren, har vi tegnet et nytt punkt som representerer denne pris-produksjon sammenhenget. Hvis man fortsetter å trykke på øk pris så vil man tegne en linje som representerer hva man er villig til å produsere for en rekke priser--det vil si, tilbudskurven.

Akkurat her, så var det kanskje unødvendig å tegne inn en ekstra figur. Grunnen for det er at tilbudskurven blir akkurat lik marginalkostnadskurven. Men det er fordi vi har antatt en fast, marekdspris som ikke blir påvirket av hvor mye produserer. Vi skal undersøke andre markedstyper der dette ikke er tilfelle.

Quiz

Oppgaver

  1. Vi har følgende produktfunksjon med konstantskalautbytte:

    $$y=2v$$

    a.) Hvis prisen på ressursinnsats er q=4, hvordan kan man skrive kostnadskurven?

    b.) Hva er marginalkostnaden når y=10, 20 og 30. Hva er gjennomsnittskostnaden når y=10, 20, 30?

    c.) Hvis markedsprisen er p=3, burde bedriften prøve å øke produksjon?

    a.)

    Vi begynner med produktfunksjon, \(y=2v\) og skriver det om så at v er på venstre siden:

    $$v=\frac{y}{2}$$

    Total kostnad er pris på ressursinnsatsen gange mengde ressursinnsats:

    $$C = q*v= \frac{qy}{2}$$ $$C = \frac{4y}{2} = 2y$$

    b.)

    Når produktfunksjonen har konstantskalautbytte, så har vi også en fast marginalkostnad: 2 (Det vil altid koste 2 for å produsere en til). Gjennomsnittskostnad er da også lik marginalkostnad: 2 (når det koster 2 til å bygge hver enhet, så vil det også være 2 i gjennomsnitt.).

    c.) Når prisen er 3 og marginalkostnaden (kostnaden av å bygge en til) er 2, så vil bedriften altid klare å øke sin profitt ved å produsere og selge flere. I dette tilfellet vil de ønske å produsere så mange som de kan!

  2. Kan du skrive en formula for tilbudskurven av bedriften beskrevet i oppgave 1? Hvordan tolker vi denne tilbudskurven?

    Når man har en produktfunksjon med konstant skalautbytte, så er tilbudskurven en vannrett linje med høyde (p-intersept) likt marginalkostnaden: p=2

    Vi kan tolke denne tilbudskurven som at så lenge markedsprisen er høyere enn 2 så vil vi produsere så mange som mulig.

  3. Nå la oss si at bedriften har en produktfunksjon med Cobb-Douglas form med avtakende skalautbytte:

    $$y=2v^{0,5}$$

    a.)Hvis prisen på ressursinnsatsen er q=4 igjen, hva er kostnadskurven?

    b.)Kan du skrive en formula for tilbudskurven til bedriften?

    a.)

    Vi skriver om vår produktfunksjon med v på venstre siden:

    $$v^{0,5} = \frac{y}{2}$$ $$v = (\frac{y}{2})^2$$

    Da ganger vi med prisen på ressursinnsatsen, q

    $$C(y) = 4*v = 4(\frac{y}{2})^2 = y^2$$

    c.) Med Cobb-douglas produktfunksjonen, så blir marginalkostnadsfunksjonen lineær:

    $$C'(y) = 2y$$

    Det vil si at for hver pris, for å bestemme optimal produksjon så må vi bare sette p=marginal kostnad:

    $$p=2y$$

    Dette blir da vår formula for bedriftens tilbudskurv