Faste og variable kostnader

Fastekostnader og den viktigiste bilfabrikken i verden.

Som vi har vært inn på, en viktig faktor som skiller ulike produksfunksjoner er tidsperspektivitet. Ofte det som skiller kort og lang sikt er muligheten til å bygge nye fabrikker og ellers investere i ny kapital.

Det kan være interessant å se på Tesla's historie når det gjelder investering i fabrikk. Tesla kjøpte sin første fabrikk i California fra GM og Toyota i kjølvannet av finanskrisen. GM og Toyota hadde startet en samarbeid på 1980-tallet og sammen bygget NUMMI-fabrikken i California. NUMMI står får New United Motor Manufacturing Inc. Toyota var motivert til å få enda høyere tilgang til det amerikanske markedet og ville også unngå importtariffer.

Men det var kanskje GM som hadde det meste å tjene på samarbeidet. På 1980-tallet, var Toyota og de andre japanske bilprodusentene godt i gang med å utkonkurrere de amerikanske bilselskapene ved å produsere rimelig, drivstoff-effektive og svært driftssikkre biler. GM ville lære produksjonsteknikkenne til Toyota som gjorde det mulig å produsere disse bilene. Det var to ideer som var sentralt til Toyota sin "lean" produksjonsteknikk.

"jidoka" - er ideen om hvordan man innfører automatisering, nemlig at den automatisering er styrt av menneskelig ingeniører og arbeidere. Det vil si at produksjonslinjen begynner med hovedsakelig håndarbeid der man prøver å optimere prosessen. Deretter er robotter og maskiner introdusert til å automatisere prosessen.

"Just-in-Time" konseptet gikk ut på minimere lager - både av innsattsvarene og også på selve bilene som er produsert. Man tilpasser produksjon til de ordrene som man få til en hver tid, og man tilpasser lageren av bildeler og andre råvarer til den produksjonen man har. På denne måten kunne de ha en effektiv, lavkostnads-produksjonsprosses. Ved å bruke mikroøkonmiske konsepter, kunne vi si at Toyota hadde funnet en måte å øke total faktorproduktiviteten betraktelig.

Toyota hadde revolusjonert bilproduksjon, og gjennom sånne samarbeid, lærte GM, og også de andre bilselskapene hvordan å lage bedre, billigere biler.

Det virker da passende at den neste store revolusjonen i bilindustrien skulle også skje i den tidligere NUMMI-fabrikken, når Tesla kjøpte fabrikken og skulle produsere sin første masse-produsert bil: Model S.

Vi vet hvordan historien gikk: Tesla klarte å starte produksjonen på Model S, selv om de opplevde problemer underveis og flere store forsinkelser. Kjøpet av NUMMI-fabrikken var en viktig milepæl for Tesla men det hadde også stor praktisk betydning. Å kjøpe og bygge om fabrikken var en stor fast kostnad som Tesla måtte låne store summer for å gjennomføre.

Deretter var de avhengig av å få produksjon i gang og få solgt sine biler til en pris over marginalkostnad så at de kunne begynne å betale tilbake lån. Ellers ville Tesla snart gå tom for penger og måtte stenge ned - noe som de kom nær til å gjøre flere ganger.

Interaksjonen mellom produksjon og fastekostnader er et veldig viktig begrep, og dette skal vi ta opp i denne forelesningen.

Faste kostnader

Faste kostnader og produksjon på kortsikt.

Når vi tar perspektivitet av en bedrift, det som ofte skiller kortsikt fra lengre tidsperspektiver er muligheten til å bygge ut mer fast-kapital.

Hvis man plutselig får en stor økning i etterspørsel, så er det vanligvis ikke mulig å bare bestille en ny fabrikk. Det tar tid å ordne finansiering, lokalisering, planlegging, bygging, osv.

Det er på grunn av at noen kapitalinvesteringer tar tid, at vi ofte tenker på kortsikt som når noe av kapitalen er fast -- som fabrikken og muligens også spesieleserte maskiner, roboter, osv.

Når vi ser på produksjon og kostnader på kort sikt, så har vi da ofte noen faste kostnader - som vi må telle annerledes. Det er kostnader som vi må betale uavhengig av hvor mye produksjon vi har tenkt å ha. Kostnaden av å bygge en tesla burde inkludere kostnaden av å kjøpe fabrikken, men samtidig, så er den marginale kostnaden av å bygge en til Tesla uavhengig av fabrikk-kjøpet.

Se på den øverste figuren: Her viser det totale kostnader. Vi ser at kostnadskurven begynner ikke på null, men heller litt høyere opp - dette er de faste kostnadene (tenk fabrikk) som er der uansett hvor mye produksjon vi har.

I den nedereste figuren viser flere metrikk for kostnad per bil.

den enkleste metrikken er gjennomsnittskostnader. Her deler vi bare totale kostnader med antall biler. Vi ser at det starter veldig høyt siden hvis vi bare produserer noen få biler så må vi dele alle de faste kostnadene på noen få biler.

Marginale kostnadene - kostnaden av å lage en ekstra bil, øker lineart -- igjen, at de marginale kostnadene øker over tid kommer fra at vi har en produksjonsfunksjon med avtakende skalautbytte - det blir mer-og-mer ressursinntensiv å bygge hver ekstra bil.

På gjennomsnittskostnader ser vi at vi når et bunnnivå og da gradvis begynner å øke - du kan tenke på bunnen som avveiningen mellom å spre de fastekostnadene over flere biler og å lage så pass mange biler at de marginale kostnadene begynner å øke.

Hvor ligger bunnen nøyaktig? Det er faktisk der de marginalekostnadene krysser gjennomsnittskostnadene! Så lenge kostnaden av å produsere en ekstra bil er lavere en gjennomsnittskostnaden så langt, så vill det trekke ned gjennomsnittskostnadskurven.

Vi kan også vise gjennomsnittskostnadene der vi har tatt ut den faste-andelen av kostnadene. Dette er kostnadene som øker med økt produksjon - vi kan kalle de variable gjenommsnittskostnadene.

Hvorfor ligger denne kurven under marginalkostnadskurven?

Fordi marginalkostnadskurven - kostnaden av å lage en til bil-øker - det vil is gjennomsnitten av marginalkostnaden av alle de tidligere bilene blir lavere.

Fastekostnader og produksjon på kortsikt: Mattematisk

Mattematisk, kan vi skrive totale kostnader:

$$C(y) = C_v(y) + F$$

Der \(C_v(y)\) er variablekostnader og F er de fastekostnader. Legg merke til at F ikke er en funksjon av produksjon, y. Dette er definsjonen av fastekostnader.

Vi kan finne de marginale kostnader (kostnaden av å produsere enn til Tesla/produkt) ved å ta derivaten:

$$C'(y) = C_v'(y)$$

Variable gjennomsnittskostnader kan vi skrive som:

$$\frac{C_V(y)}{y}$$

Faste gjennomsnittskostnader er:

$$\frac{F}{y}$$

Og totale gjennomsnittskostnader er:

$$\frac{C(y)}{y} = \frac{C_V(y)}{y} + \frac{F}{y}$$

Dekningsbidraget

Profittmaksimering og dekningsbidraget

I figuren viser nå bare marginalkostnadskurven og markedsprisen, p.

Vi husker fra forelesning 12 at en bedrift som ønsker å maksimere profitt vil produsere fram til de marginalekostnadene er likt prisen: vi vil velge å produsere en til bil så lenge den ekstra kostnaden er likt eller under markedsprisen.

Vi kan også forklare dette med bruk av et begrep fra bedriftsøkonomi: dekningsbidraget. Dette er forskjellen mellom de marginale kostnadene og markedsprisen.

Trykk på "Øk produksjon" så ser vi at dekningsbidraget per bil blir mindre og mindre på grunn av at de marginale kostnadene øker. Men vi fortsetter å produsere fram til vi får null ekstra i dekningsbidrag.

Vi kan tenke på dekningsbidraget som delen av salgsprisen vi bruker å betale ned (eller dekke) de faste kostnadene. En annen måte å tenke er at hvis en bedriftseier vurderer å investere i noen fast kapital (faste kostnader) så må de kunne se for seg tilstrekkelig dekningsbidrag til å dekke de kostnadene.

Vi kan også skrive ideen om dekningsbidrag mattematisk

Vi kan skrive en formula for bedriftens profitt/overskudd som omsetning menus total kostnader:

$$\pi(y) = py - C_v(y) - F$$

For å finne vår produksjonsnivå med maksimum profitt, så tar vi derivaten i forhold til y.

$$\pi'(y) = p - C'_V(y) => p=C'_V(y)$$

Nå er vi tilbake til vår gammel optimalbetingelse: pris = marginalkostnad. Fastekostnader forsvinner helt fra avgjørelsen.

Når skal man gi seg? Tilbudskurven og sunkne kostnader

Fram til nå har vi snakket om faste kostnader som ligner en fabrikk som Tesla bygger. Men dette er bare en type fast-kostnad.

En Tesla fabrikk er antakeligvis i høy grad irreversible. Det betyr at fabrikken er i stor grad bare nyttig for å lage Tesla biler. Hvis selkskapet i etterkant angrer på investeringen/kostnaden, så ville det vært vanskelig å gå ut og selge fabrikken til noen andre. Det ville krevd store ombyggingskostnader til å gå fra å lage Tesla-biler til Ford-biler.

En fabrikk er også preget av at det er en kostnad som er uavhengig av produksjon. Det vil si at disse faste kostnadene er noe som vi må regne med selv hvis vi produserer 0.

Produksjonsavhengige (eller driftsavhengige) faste kostnader er da kostnader som et selskap har som ikke er direkte koblet produksjon og som ikke øker når man øker produksjon marginalt, men samtidig er noe som forsvinner når man stopper produksjon totalt. Vi kan tenke på en rekke administrative og kontor kostnader som et godt eksempel: resepsjonisten, produksjonsingengiør, markedsføring, osv. Dette er ting man trenger å betale omtrent det samme for om man lager 1.000 eller 10.000 biler.

Skillen mellom produksjons-avhengig eller drifts-avhengige og uavhengige kostnader og, vil påvirke hvordan vi modellerer vår tilbudskurv, som vi viser under.

Tilbudskurven og produksjonsavhengige faste kostnader

I den øverste figuren viser vi nå to kostnadsfunksjoner. Den første inkluderer bare faste kostander som er i stor grad irreversibel og uavhengig av drift - vi kan tenke på teslafabrikken i California. Disse kostnadene skal vi kalle sunkne. Vi kaller dem sunkne fordi, som vi kommer til å forklare, de spiller ikke inn i bedriftens avgjørelse å starte elle stoppe produksjon og hvor mye å produsere.

Den øverste kostnadskurven inkluderer også driftsavhengige faste kostnader -- tenk resepsjonisten på fabrikken og andre administrative tjenester.

I figuren under har vi delt begge kostnadskurvene med produksjon (y) og det gir den gule (med bare driftsavhengige faste kostnader) og orange (sunkne- og drifts-avhengige kostnader)

Nå skal vi stille spørsmålet igjen: hvor mye vil bedriften tilby for enhver pris? Det vil si, hva er bedriftens tilbudskurv?

Trykk på Øk pris: Den stiplet linjen representerer markedsprisen.

Uten faste kostnader, så kunne vi bare fulgt marginalkostnadskurven og brukt det til å bestemme hvor mange biler vi er villig til å produsere.

Men med våre driftsavhengige faste kostnader så vil vi uansett tape penger på hver bil - prisen ligger under gjennomsnittskostnadskurven som inkluderer bare driftsavhengige faste kostnader.

Det vil si, etter at vi tar hensyn til lønn som vi må betale til resepsjonisten og produksjonsingeniøren som vi trenger for å holde produksjonen gående, så er det bedre for oss å ikke produsere noe i det hele tatt.

Den første delen av vår tilbudskurve er derfor tegnet vertikalt på 0 (tykk blå linje)

Fortsett å trykke på Øk pris: Når prisen kommer over den gule kurven så kan vi produsere nok biler til høye nok priser at vi kan dekke inn de faste driftskostnadene. Derfor er vi villig til å starte produksjon og vår tilbudskurve begynner nå langs vår marginalkostnadskurv.

Men mellom den gule og orange kurven vil vi i gjennomsnitt tape penger per bil produsert når vi tar hensyn til alle faste kostnader. Hvorfor er vi fortsatt villig til å produsere her?

Fordi de sunkne kostnadene er allerede gjort, irreversibel og ikke relatert til drift. Hvis vi stopper produksjon får vi ikke tilbake de pengene uansett. Best å produsere å få igjen noen av de "tapte" pengene.

Quiz

Oppgaver

  1. La oss si at vi har en totalkostnadsfunksjon med form:

    $$C(y) = 0,5*y^2 + 50$$

    a.) Hva er bedriftens fastekostnader?

    b.) Hva er formula for bedriftens marginalekostnader?

    c.) Hvor mye produksjon må bedriften ha for å nå de minste gjennomsnittskostnadene?

    a.) Bedriftens faste kostnader er 50 - den delen av totalekostnadene som er uavhengige av produksjon (y)

    b.) Marginalekostnader kan vi skrive som derivaten av (C(y)):

    $$C'(y) = y$$

    c.) Gjennomsnittskostnadene er lavest der gjennomsnittskostnadskurven treffer marginalkostnadskurven:

    $$\frac{0,5y^2+50}{y} = y$$ $$0,5y^2 + 50 = y^2$$ $$50 = 0,5y^2$$ $$y^2=100$$ $$y= \sqrt{100} =10$$

    2. Vi bruker samme total kostnadsfunksjon som i oppgaven over:

    $$C(y) = 0,5*y^2 + 50$$

    I tillegg vet vi at markedsprisen på vårt produkt er p=12.

    a.) Vi fant at vi kunne minimere gjennomsnittkostnaden når y=10, hva er dekningsbidraget på den 10-ende enheten vi produserer og selger?

    b.) Hvis vi ønsker å maksimere overskudd, hvor mye burde vi produsere? Dekker vi inn våre faste kostnader ved å produsere og selge på dette nivået?

  2. a.) Dekningsbidraget er forskjellen mellom marginalkostnaden av enheten og markedsprisen, det blir:

    $$p-C'(y) = p-y = 12-10=2$$

    b.) Vi kan skrive vår proffitfunksjon som:

    $$\pi(y) = p*y - C(y) = 12y - (0,5y^2+50)$$

    For å finne en maksimum, tar vi derivaten i forhold til y og setter til 0 for å få vår første-ordens betingelse

    $$\pi'(y) = p - y = 0$$ $$y=p=> y=12$$

    Vi kan regne ut vår dekningsbidraget for hver av enhetene vi solgte.

    Den første enhet hadde marginalkostnad av 1 og salgspris av 12 og derfor en dekningsbidrag av 11.

    den andre hadde marginalkostnad av 2 og salgspris av 12, så vi hadde en dekningsbidrag av 10, osv

    Så vi kan regne ut

    $$11+10+9+8+...+0 = 66$$

    Deretter trekker vi fra våre fastekostnader

    $$66-50=16$$

    Og vi ser at vi hadde 16 i overskudd.

    Alternativt så kunne vi bare plugge inn y i vår profittfunksjon:

    $$\pi = 12*12 - (0,5*12^2 +50) = 22$$

    Her får vi en litt annet svar - hvorfor? Fordi vi antar at vi kan dele opp enhetene. At vi kan produsere en halv eller tredjel av en enhet.

  3. Nå skal vi endre litt på totalkostnadskurven. Vi skal skrive:

    $$C(y) = 0,5*y^2 + SK + DFK$$

    Der SK står får sunkne kostnader og DFK står vår driftsavhengige faste kostnader. Vi sier:

    $$SK=25$$ $$DFK =25$$

    a.) Hva må markedsprisen være før vi er villig til å starte produksjon

    b.) Hvilken markedspris trenger vi for å ikke tape penger (ha 0 i overskudd)

    Vår regel for å starte (eller avvikle) drift var at vi måtte kunne klare å dekke de variablekostnadene og de driftsavhengige fastekostnader, siden vi ikke må betale de hvis vi ikke begynner produksjon. Sunkne kostnader må vi betale uansett, så de kommer ikke inn i avgjørelsen.

    Vi kan da skrive vår betingelse som:

    $$p*y = 0,5y^2 +25$$

    Vår betingelse for å bestemme produksjon var å sette pris likt marginalkostnaden:

    $$p=C'(y) => p=y$$

    Vi kan sette det inn vår ligning fra før:

    $$p^2 = 0,5p^2 + 25$$ $$0,5p^2 = 25$$ $$p^2 = 50 =>p=\sqrt{50} \approx 7,07$$

    prisen må være minst 7,07 for oss å starte produksjon

    b.) Vi vil først tjene en overskudd når vår omsetning dekker alle våre kostnader:

    $$p*y = 0,5y^2 + 50$$

    Igjen, vi setter inn vår betingelse for maksimum overskudd:

    $$0,5p^2 = 50$$ $$p^2 = 100 => p=10$$

    Prisen må være 10 for å dekke alle de faste kostnadene.

    Merk også at dette er minimums gjennomsnittskostnad