Konsumentens tilpasning

Mr. Money Mustache

Og den personlige handlingsregelen

Mr. Money Mustache blogginnlegg om 4% regelen

En av de store målene blandt mange i FIRE bevegelsen er å pensjonere seg tidlig. De ønsker å bygge opp nok kapital så at de kan leve av avkastningen på de pengene resten av sit liv. Men hvordan vet man når man har nok penger?

Spørsmålet har med både preferanser og budsjett å gjøre. Hvor mye penger vil man ha per år for å leve et godt liv? Og hvor mye i formue trenger man for å kunne oppnå den evige levestandarden.

Mr. Money Mustache har en enkel regel, noe som han kaller 4% regelen. Det vil si, at du må kunne leve av 4% av din total formue. Så hvis du har spart opp 5 mill kroner, da kan du bruke 200.000 kroner per år. Hvis du har en preferanse for en høyere inntekt, så må du spare opp mer.

MMM forsvarer 4% regelen med å si at man kan forvente en 6% gjennomsnittlig realavkastning i aksjemarkedet, 2% inflasjon, og dermed har du igjen 4% realavkastning. Det vil si, i gjennomsnitt, bruker du kun avkastningen og ikke noe av selve formuen.

Dette er ikke så annerledes enn måten norge tenker på sitt oljefond, der regjeringen har en handlingsregel som sier at man ikke skal bruke mer en 4% av fondet per år siden det er forventet realavkastningen til fondet er rundt 4 prosent. På den måten blir størrelsen på fondet aldri mindre, selv etter vi har sluttet å sette inn penger.

Å koble dette direkte tilbake til mikroøkonomi: Poenget er at for å finne vår optimal løsning, så trenger vi både preferanser og et budsjett.

Det har manglet noe i diskusjonen om preferanser fra forrige forelesning: indiferenskurven gir oss alle kombinasjonene av to varer sånn at vi er likegyldige, men på hvilken av indiferenskurvene skal vi være på? Hvor får vi mest nytte gitt vår budsjett? Det skal vi prøve å finne et svar på i denne forelesningen.

Buslutninger om konsum

Først, la merke til at det er noen kombinasjoner langs indifferenskurven som du ikke har råd til. De kombinasjonene som ligger utenfor konsummulighetsområdet (over og til høyre til budsjetlinjen).
Men vi bryr oss ikke om det, for når vi beveger oss mot midten av indifferenskurven, så lander vi etterhvert på en plass indifferenskurven møter budsjettlinjen - der vi akkurat har råd til kombinasjonen av de to varene. Per definisjon av indifferenskurven får vi like mye nytte fra denne kombinasjonen av epler og appelsiner som vi har råd til som de kombinasjonene som ligger lengre ut på kurven og som vi ikke har råd til.
Men da ser vi at vi kan bevege oss endra lengre inn mot midten av kurven. Igjen, vi får akkurat samme nytteverdi så lenge vi holder oss på kurven. Men nå ser vi at vi er under vår budsjett - vi har mer penger igjen.
Vi kan derfor øke vår egen velferd ved å øke vår konsum av både epler og appelsiner.
Du kan simulere dette ved å trykke på "Øk nytte" knappen. Fortsett å gjøre dette fram til du ikke kan øke både epler og appelsiner lengre.
Hvilket punkt har du landet på? Forhåpentligvis har du landet på den optimale verdien: der det ikke lenger er mulig å få høyere nytteverdi og velferd.
Du kan sjekke din konklusjon ved å trykke på "Optimal konsum" knappen.

Bestlutninger om konsum 2

Når hele indiferenskurven ligger over budsjettlinjen så er ingen av kombinasjonene av epler og appelsiner mulig å oppnå med vårt budsjett.
Vi må rett og slett stille ned våre forventninger og aksptere et lavere nytte (eller velferd).
Trykk på "Reduser nytte" fram til man kommer fram til en kombinasjon av epler og appelsiner som er mulig å skaffe med din budsjett.
Er det mulig å oppnå et høyere nytteverdi? Da har vi landet på en optimum.

Betingelser for optimum konsum

Den grønne linjen representerer helningen av indifferensekurven på et viss punkt.

Vi husker at helningen av indiferenskurven representerer den marginale substitusjonsbrøken (MSB) -- hvor mange epler vi er villig til å gi opp for å få en appelsin. Vi kan skrive det som:
$$MSB = \frac{U_{appelsiner}}{U_{epler}}$$
I utgangspunktet har vi en ganske bratt helning: vi er villig til å gi opp mange epler for å få noen flere appelsiner.
Trykk knappen "Øk # appelsiner"
Hva skjer med helningen (MSB)? Hvorfor?
Nå trykk på "Optimal konsum" for å finne optimum.
Trykk på Øk eller Reduser # appelsiner knappene til man kommer til optimum.
Hva er forholdet mellom helningen av indiferenskurven ($MSB = U_{appelsiner}/U_{epler}$) og helningen av budsjettlinjen (bytteforholdet) $-P_{appelsiner}/P_{epler}$?
Når det er optimum, så er de like!

Betingelser for optimal konsum

Budsjettbetingelsen: Kombinasjonen av varene må ligge på budsjettkurven -- hvis kombinasjonen ligger over budsjettlinjen har du ikke råd til den, hvis kombinasjonen er under så kan du øke din velferd ved å kjøpe mer av begge.
Tangeringsbetingelsen Helningen på indifferenskurven (MSB) er lik helningen på budsjettkurven (bytteforholdet) - prisforholdet er i tråd med dine preferanser! Tenk for eksempel om det var dobbelt så dyrt å kjøpe en appelsin som en eple, men du verdsetter de likt (hadde en MSB av 1). Da kunne du kjøpt en mindre appelsin og 2 flere epler, bruke samme budsjett, men få en høyere nytteverdi. Og du ville fortsette å bytte epler for appelsiner fram til de relative prisene var i tråd med dine preferanser.

Når prisene endrer seg...

Ved å endre prisen på appelsiner, så kan vi generere individets etterspørselskurven

Hvis vi reduserer prisen på appelsiner, så skifter budsjettlinjen ut - vi kan kjøpe flere appelsiner.
Da er det også mulig å flytte ut indifferenskurven.
Vi kjøper flere appelsiner i den nye optimum, men...
Også færre epler - vi bytter fra epler til appelsiner når appelsiner har blitt billigere. Dette er det vi kaller "prisvridningseffekten" når en vare blir billigere.
Det må ikke være sånt - med en annen indifferenskurve så kunne antall epler være konstant.
Antall epler kunne til og med økt på grunn av "inntektseffekten". Inntetkseffekten betyr at en lavere appelsinpris gir oss høyere real-inntekt--når appelsiner blir billigere, så har vi råd til å kjøpe mer av alt -- og da vil vi ha mer av både epler og appelsiner.
I den nederste figuren, plotter vi sammenhenget mellom pris og optimum konsum av appelsiner
Dette er vår individuell etterspørselsfunksjon!

Marginal betalingsvilje

Hva sier den individuelle etterspørselsfunksjonen om oss?

Etterspørselskurven for appelsiner som vi har laget forteller oss noe om hvor mye vi er villig til å gi opp for å få en til appelsin

Vi har tolket det i form av epler, men vi kan lett transformere fra epler til kroner ved å se på prisen på epler.

Hvis, på et viss punkt vi er villig til å gi opp 2 epler til å få en appelsin, og et eple koster 5 kroner, så er vi villig til å betale 5*2=10kr for å få en til appelsin.

Dette er det som heter vår marginal betalingsvilje (MB) og vi skriver det som:

Det vil si at vår marginal betalingsvilje er likt vår marginal substitusjonsbrøk (MSB) gange prisen på den alternativet varen!

Etterspørsel, Marginal betalingsvilje og konsumentoverskuddet

I figuren over ser vi en individuell etterspørselskurve og en horisental linje som representerer prisen.
Hvor mange appelsiner skal vi kjøpe?
Svaret er at vi skal fortsette å kjøpe appelsiner fram til det det koster (markedsprisen) er mer enn vår betalingsvilje.
Det vil si der (den individuelle) etterspørselskurven krysser markedsprisen
Vi kan også definere forskjellen mellom vår etterspørselskurve og prisen fram til de to linjene krysser som konsumentoverskuddet.
Se forelesning 1-2 for en litt mer detaljert forklaring.

Quiz

Svar Sant eller Usant om følgende påstander

Oppgaver

Gå ut i fra at vi har følgende Cobb-Douglas nytte-funksjon:

For konsum av appelsiner og epler

Prisen på epler ($p_e$) er 4kr per stykk

Prisen på appelsiner ($p_a$) er 5 kr per stykk

Vi har en budsjett av m=100

Hvordan kan vi skrive den marginale substitutsjonsbrøken? (Obs: Dette krever litt kalkulus)

Vi begynner med å derivere nyttefunksjon i forhold til $x_a$ og $x_e$ - disse derivatene tolkes som hvor mye vår nytte endrer seg når vi øker konsum av henholdsvis appelsiner og epler (marginalnytte):
$$U_a = \frac{\partial U}{\partial x_a} = x_a^{-0,5}x_e^{0,5} = (\frac{x_e}{x_a})^{0,5}$$ $$U_e = \frac{\partial U}{\partial x_e} = x_a^{0,5}x_e^{-0,5} = (\frac{x_a}{x_e})^{0,5}$$
Vi sa at MSB er hvor mye man er villig til å gi opp av den ene til å få mer av den andre. Dette kan vi beregne ved å dele den marginale nytten av en ekstra appelsin med den marginale nytten av en eple:
$$MSB = \frac{U_a}{U_e} = \frac{(x_e/x_a)^{0,5}}{(x_a/x_e)^{0,5}} = (\frac{x_e}{x_a})^{0,5}(\frac{x_e}{x_a})^{0,5} = \frac{x_e}{x_a}$$
Skriv de to betingelsene man trenger for å oppnå en optimum?

Først trenger vi tangeringsbetingelsen (at helningen av indifferenskurven er lik helningen av budsjettlinjen): $$MSB = \frac{p_a}{p_e} => \frac{x_e}{x_a} = \frac{p_a}{p_e}$$
Deretter trenger vi budsjettbetingelsen (at vår optimal punkt er på budsjettlinjen):
$$p_a x_a + p_e x_e = m$$
Finn den optimale kombinasjonen av epler og appelsiner?

Med våre 2 betingelser har vi to ligninger og to ukjente: $x_a$ og $x_e$. Vi kan derfor finne de optimale verdiene (som vi betegner med en stjerne):
$$x_a^* = \frac{m}{2p_a} = \frac{100}{2*5} = 10$$ $$x_e^* = \frac{m}{2p_e} = \frac{100}{2*4} = 12,5$$
(Vi antar at det er mulig å kjøpe et halvt eple!)
Beregn nytteverdien når man har kjøpt de optimale antall epler og appelsiner. Kan du gi noen tolkning til dette tallet?

Da setter vi bare verdiene vi beregnet for epler og appelsiner inn i vår nyttefunksjon
$$U=2*x_a^{0,5}*x_e^{0,5} = 2*\sqrt(10)*\sqrt(12,5) \approx 21,9$$
Det er faktisk ikke noe god tolkning på et nyttetall - det er bare en type indeks, der selve tallet betyr veldig lite. Det som er viktig er tallet relative til andre tall: at en nytteverdi er høyere enn en andre.
La oss si at du trosser mikroøkonomifaget, og velger å kjøpe 5 epler til? Hvor mange appelsiner må du gi opp for å ha råd til dette? Hvordan har vår nytte endret seg (hvor fornøyd er vi med valget?)

Hver eple koster 4 kroner, så da må vi ha 20 kroner til. Dette kan vi få ved å kjøpe 4 appelsiner mindre (5kr hver). Det betyr at vi nå har 17,5 epler og 6 appelsiner

Vi setter det i vår nyttefunksjon:
$$U=2*\sqrt(6)*\sqrt(17,5) \approx 20,5$$
Vår nytte har gått ned - dette var en dårlig bytte.
Hvis prisen på appelsiner økte, hva ville effekten vært på optimal antall epler man valgte å kjøpe.

Hvis vi ser på vår formula for optimal antall epler:
$$x_e^* = \frac{m}{2p_e}$$
Kan du skrive etterspørselsfunksjonen for epler og appelsiner som funksjon av prisene $p_e$, og $p_a$ og inntekt, $m$.

Dette har vi faktisk allerede klart å gjøre (se 3)

Vi fikk:
$$x_a^* = \frac{m}{2p_a} $$ $$x_e^* = \frac{m}{2p_e} $$
Det vi fant var optimal antall epler og appelsiner vi ønsket å kjøpe gitt prisene og inntekt - det er etterspørselsfunksjonen.